RSA加密算法学习

RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。

RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。
RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：

Table	Are
公钥 KU	n:两素数p和q的乘积（p和q必须保密） e:与（p-1）(q-1)互质
私钥 KR	d: $e^{-1}(mod(p-1)(q-1))$
加密	$C ≡ m^e \quad mod \quad n$
解密	$m ≡ c^d \quad mod \quad n$

一、 什么是“素数”？

素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。素数也称为“质数”。

二、什么是“互质数”（或“互素数”）？

小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。

判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

三、什么是模指数运算？

指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
　
　　模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如 $5^3 mod \ 7 = 125 \ mod \ 7 = 6 $
　　好，现在开始正式讲解RSA加密算法。
算法描述：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p，q。

（2）计算n=pq。

（3）计算 f(n) = (p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。

（4）找一个与 f(n) 互质的数 e，且1 < e < f(n)。

（5）计算d，使得 d*e ≡ 1 mod f(n)。这个公式也可以表达为d ≡ e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。

（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。

（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：$ C ≡ M^e (mod \ n)$。

（8）解密过程为：$M ≡ C^d (mod \ n)$。

实例描述

我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：

（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。

令p=3，q=11，得出n=pq= 311 = 33；f(n) = (p-1)(q-1) = 2×10 =20；取e=3，（3与20互质）则ed ≡ 1 mod f(n)，即3d ≡ 1 mod 20。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。(d的取值使 3*d mod 20 = 1)试算结果见下表：

d	ed = 3d	(ed) mod (p-1)(q-1) = (3d) mod 20
1	3	3
2	6	6
3	9	9
4	12	12
5	15	15
6	18	18
7	21	1
8	24	3

通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。

（2）英文数字化。

将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

（3）明文加密

用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
　11^3 mod 33 = 11;
　5^3 mod 33 = 26;
　25^3 mod 33 = 16;
　因此，得到相应的密文信息为：11，26，16。

例如:用RSA算法加密时,已知公钥是（e=7,n=20）,私钥是（d=3,n=20）用公钥对消息M=3加密,则加密解密计算:
　　要加密或解密的数字做e次方或d次方,得到的数字再和n进行模运算,模运算就是求余数,拿题目中数据来算的话就是
　　3的7次方等于2187,2187除以20等于109,余数是7，所以得到的密文就是7。
　　解密就是算7的3次方343,343除以20等于340余数3,于是我们又得回原来的明文3了

（4）密文解密。

用户B收到密文，若将其解密，只需要计算 $M ≡ C^d (mod \ n)$，即：
　　11^7 mod 33 = 11;
　　26^7 mod 33 = 5;
　　16^7 mod 33 = 25;
　　用户B得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。

当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

最后简单谈谈RSA的安全性

首先，我们来探讨为什么RSA密码难于破解?

当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。

然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。

此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。