数列最初的样子

(1).数列是指按一定顺序或规律排列的一列数，而且这些数都是确定的，或许第n项你不知道而已。

(2).数列的项必须是数，他可以是实数也可以是复数，但不能是无穷∞，因为∞不是数。若数列的某项中存在∞则该项不应该存在于数列中，存在∞项也即非数列。除非把它(∞)排除在外，然后重排，从n=1开始。

(3).数列的项一般是从n=1开始的也即首项，一般形式可写成a1,a2,a3,...,an,an+1...,简记为{an},n为正整数，即n=1,2,3...。

数列一般形式

(4).数列不一定有通项公式，但有通项才使得数列能与函数联系起来。

(5).数列有界是指数列既有上界又有下界，即B<={an}<=M。

(6).数列收敛,即数列存在极限，收敛的性质：①唯一性(极限唯一)，②有界性(数列有界)，③保号性(若极限A>0，n→∞时，an>0)

(7).(收敛的充要条件)数列{an}所有子列均收敛于A，{an}所有子列即{a2n，a2n+1}，又或{a3n，a3n+1，a3n+2}等等。

数列的非凡子列举例

(8).何为一个子列

1).给定数列，从中任意地选取无限项，按照原来的顺序组成的数列称为数列的一个子列

2).数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为平凡子列；不是平凡子列的子列称为非平凡子列。

数列的子列举例

3).子列定理，

①数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。

②数列收敛的充分必要条件是：数列的任何非平凡子列都收敛，且收敛于同一值。

子列定理举例

字母文字：

lim(n→∞)an=A，

lim(n→∞)an+1=A，

lim(n→∞)an+2=A，

......

lim(n→∞)an=A⇔lim(n→∞)a2n=lim(n→∞)a2n+1=A

lim(n→∞)an=A⇔lim(n→∞)a3n=lim(n→∞)a3n+1=lim(n→∞)a3n+2=A

......

(9).单调有界数列必有极限，单调有界：①单调增有上界，②单调减有下界。证明就不证明了，可以想想何为数列，或许可以回到(1)，(2)，回到你心中数列最初的样子。