我在讨Xbar-R控制图的子组大小（Subgroup Size）的时候，提到了控制图的灵敏度（Sensitivity）的问题，今天我们就再进一步展开一下。这个问题也是我们大家容易忽略的一个问题，往往不是很关注。
控制图的灵敏度一般包含两方面的含义，一是当过程出现问题时（特殊原因发生时）在控制图上能够立即反映出来，也就是对异常反应的实时性。二是指多大的异常出现时，控制图才有反应，也就是可探测到最小特殊原因变差。因此我们这样定义控制图的灵敏度：在控制图能够迅速出现失控信号时的过程偏移量。即使可探测的特殊原因变差很小，如果需要很长的时间才能在控制图上反映出来，其实也是没有多大意义的，这个偏移量也不能定义为控制图的灵敏度。
那么，如何评价控制图的对异常的反应是否迅速呢？我们用平均运行链长（Average Run Length/ARL）来衡量。ARL的含义指的当过程发生偏移时，在控制图出现失控信号之前的平均子组（样本）数量。下面表格是均值控制图上的平均值偏移量与平均运行链长（ARL）的关系。
从上面表格可知，当均值偏移了1.5σ'（注意此处的σ'不是过程的标准方差，而是均值控制图上的均值的标准方差）时，ARL是16，这还是不考虑测量系统GRR的情况下，也就是当过程偏移了0.75σ（假设子组大小n=4）时，需要取16个子组后在控制图上才出现失控信号，这时候黄花菜都凉了。当过程偏移1.5σ时，均值在控制图上显示偏移了3σ', ARL是2，也就是说当过程偏移了1.5σ时，在取第2个子组时就显示超出控制界限，这个反应还是比较迅速的，所以我们通常认为Xbar-R的灵敏度是1.5σ。当然，随着子组大小（Subgroup Size）的变化，稍许有点边变化，这一点我在上次介绍子组大小对控制图的影响时已经做了说明，不在赘述。这也就是为什么六西格玛的质量水平（Cp=2.0）假设过程偏移1.5σ的原因了。
事实上，Xbar-R的灵敏度并不能满足越来越高的质量要求，那有没有灵敏度更高的控制图呢？累积和控制图（Cumsum Chart）就是最常见的一种。如下图所示。我们今天不就如何制作Cumsum控制图做详细介绍，有兴趣的同事，可以在网上找些资料研究一下，很容易的。
下面我们比较一下Xbar-R控制图和CUMSUM控制图的平均运行链长（ARL），这样对二者的灵敏度的差异就一目了然了。
从上面表格可以看出，Xbar-R和累积和控制图的ARL还有有很大差异的。比如，均值偏移1.0σ'时（过程偏移了大约0.5σ）,均值-极差图的ARL是44，而CUMSUM只有10个；均值偏移1.5σ’时（过程偏移大约0.75σ）,均值-极差图的ARL是16，而CUSUM的ARL只有6，所以我们说CUMSUM控制图的灵敏度远远高于Xbar-R控制图。
2021-3-15
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