学习笔记GMM（其一）

. GMM 的基本思想

广义矩估计 (Generalized Method of Moment, 简称 GMM) 是一种构造估计量的方法，类似于极大似然法 (MLE) 。MLE 通过假设随机变量服从特定的分布，进而将待估参数嵌入似然函数，通过极大化联合概率密度函数得到参数的估计值。GMM 则是以随机变量遵循特定矩的假设，而不是对整个分布的假设，这些假设被称为矩条件。这使得 GMM 比 MLE 更稳健，但会导致估计量的有效性有所降低 (估计出的标准误比较大)。

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2. Stata 实现

我们首先生成一个样本量为 500 的样本.

drop _all

set obs 500

set seed 12345

generate double y=rchi2(1)

mean y

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使用 GMM 利用样本矩条件(1)估计参数。参数 d 包含在大括号{}中。我们指定 onestep 选项是因为参数的数量与矩条件的数量相同，也就是说准确地标识了估计值，此时各样本矩条件均可精确求解。

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然后，使用 GMM 通过样本矩条件(2)估计参数。

gmm ((y-{d})^2-2*{d}),instruments( ) onestep //方程2

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比较得到的两个估计值结果，可以发现方程（1）得到的结果比方程（2）更接近真实值，方程（2）的标准误差更大，表明方程 (1) 提供了一个更有效的估计量。

现在，我们使用 GMM 通过 uniform weights 来估计参数。

matrix I=I(2)

gmm (y-{d})  ((y-{d})^2-2*{d}),instruments( ) winitial(I) onestep

(y-{d}) 表示第一个样本矩条件, ((y-{d})^2-2*{d}) 表示第二个样本矩条件。选项 winitial(I) 和 onestep 表示基于初始权重矩阵计算估计量。

最后，我们使用 GMM 通过 two-step optimal weights 估计参数。在 first-step 得到的一致估计量的基础下重新赋予新的权重。

gmm (y-{d}) ((y-{d})^2-2*{d}),instruments( ) winitial(I)

可以发现，上述得到的四个估计量都是一致的。