不要对名字浮想联翩，过度扩充它的含义，我们更应该关注它的定义和它想表达的内容。
DP的关键就是求解子问题的时候，能够重复利用(reuse)已经求解的子问题结果，而不是从头计算，因此降低了计算的时间复杂度（但是提高了空间复杂度）。
Simplifying a complicated problem by breaking it down into simpler sub-problems.(in a recrusive manner)
DP两种形式
- 自顶向下（递归+记忆化）
- 自底向上（递推+状态表）
两种方法都是DP，但是为了提高DP能力，尽量将递归都转成递推。
动态规划和递归或者分治没有根本上的区别（关键看有无最优的子结构）
共性：找到重复子问题（计算机指令集）
差异性：最优子结构，中途可以淘汰次优解
做题的关键点
- 子问题，最优子结构
- 状态数组，存储中间状态(状态表, 可以是一维，或者是多维)
- 递推公式（状态转移方程或DP方程）
初学者/面试要关注于第二步，复杂题目关注第三步
复杂的递推无非两点：
- 维度增加（复杂题目，高维是常态）
- 存在取舍（最大值，最小值，有障碍等）
路径计数
题目
子问题: 第i,j位置到end的走法=第i+1,j到end的走法 + 第i,j+1到终点的走法
状态定义：从当前点到end有多少走法
动态转移方程opt[i][j] =opt[i+1][j]+opt[i][j+1]
1583642420494
或者子问题可以定义为: 从start到i,j的走法 = 从start到i-1,j的走法 + 从start 到i,j-1的走法
状态定义: 从start开始到当前点有多少中走法,
DP方程opt[i][j] = opt[i-1][j] + opt[i][j-1]
1583643316830
实际写代码要注意状态表的初始化，例如斐波那契数列中的n=0,n=1情况。
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
long int opt[100][100];
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
// 初始化第一行第一列
if (obstacleGrid[0][0] == 1 ){ //第一个位置就是障碍物，直接为0.
return 0;
} else{
opt[0][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++){
opt[i][0] = obstacleGrid[i][0] == 1 ? 0 : opt[i-1][0];
}
for ( int j = 1; j < n; j++){
opt[0][j] = obstacleGrid[0][j] == 1 ? 0 :opt[0][j-1];
}
for ( int i = 1; i < m; i++){
for ( int j = 1; j <n; j++){
if (obstacleGrid[i][j] == 1 ) {
opt[i][j] = 0;
} else{
opt[i][j] = opt[i-1][j] + opt[i][j-1];
}
}
}
return opt[m-1][n-1];
}
};
最长公共子串(LCS)
题目
经验：字符串就需要扩展成二维的数组，也就是二维数组行和列分别对应两个字符串
二维数组
子问题: 分为两种情况考虑
-
如果前一个字符串相同，LCS=两个字符串各减1后的LCS+1
-
如果前一个字符串不相同，LCS=S1字符串减1和S2的LCS 与 S1字符串和S2字符串-1的LCS 中的最大值
状态定义: 字符串S1前i个字符和字符串S2前j个字符的最长公共子串
状态转移方程
if S1[-1] != S2[-1]:
LCS[S1,S2] = max(LCS[S1-1,S2], LCS[S1,S2-1])
else:
LCS[S1,S2] = LCS[S1-1,S2-1] + 1
cpp代码如下
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size();
int n = text2.size();
vector<vector<int>> opt(m+1, vector<int>(n+1, 0)); // m+1 x n+1 的容器
for(int i = 1; i < m+1; i++){
for (int j = 1; j < n + 1; j++){
if (text1[i-1] == text2[j-1]){
opt[i][j] = opt[i-1][j-1] + 1;
} else{
opt[i][j] = max(opt[i-1][j], opt[i][j-1]);
}
}
}
return opt[m][n];
}
};
代码注意点：
- 数组的长/宽为字符串大小+1，所以初始化的第一行和第一列都是0
- 是比较
(text1[i-1] == text2[j-1]而不是比较(text1[i] == text2[j] - 注意数组不要越界
初始化
小结：
- 多练习，这类字符串题目是经验问题，只能多练习
- 数组大小，初始化，下标不能越界。
动态规划思维的小结
- 打破自己的思维惯性，形成机器思维（找重复性）
- 理解复杂逻辑的关键（树形结构）
- 也是职业进阶的要点要领（不需要亲力亲为，要放权，允许下属犯错）
补充内容: https://www.bilibili.com/video/av53233912, MIT算法课程
习题讲解
每次做DP题目之前，需要想到DP三个步骤：
- 寻找子问题
- 构建状态数组
- 定义DP方程
爬楼梯问题
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/description/
过于简单: F(n) = F(n-1) + F(n-2)
思考题:
- 每次可以有1，2，3（简单）
- 每次依旧有1，2，3选择，但是相邻两步不能相同（中等）
三角形最小路径和
可能的方法，暴力递归（N层递归，每一层往左或者往右） 和 递归加记忆化
DP方法(O(mn ))
a. 重复性（子问题）: problem(i,j) = min(sub(i+1,j), sub(i+1,j+1)) + a[i,j]
b. 定义状态数组 f[i,j]
c. DP方程 F[i,j] = min(F[i+1,j], F[i+1,j+1]) + a[i,j]
似乎只要定义成子问题，DP方程也就写出来了。
最大子序列和(高频)
最开始的思维方式是纯凭感觉，数学上不严谨，难以找到自相似性，具有拓展性，基本上无法使用代码实现。
a. 子问题:
定义子问题时候，根据经验，从后往前来看.
max_sum(i) = Max(max_sum(i-1) , 0) + a[i]
b. 状态数组定义
从一开始到第i个元素的累加后最大值。
c. DP方程
F[i] = Max(F[i-1], 0 +a[i])
或者，最大子序列和 = 当前元素自身最大，或者包含之前后最大
硬币兑换
解题方法
- 暴力递归
- BFS
- DP
这题，我把多种写法都写出来了， http://xuzhougeng.top/archives/leetcode-322-coin-changes
打家劫舍
参考之前斐波那契的思考题2
首先，我们定义数组 a[i] : 0..i ，第i天能偷到的最大金额 , 返回 a[n-1]
于是DP方程为 a[i] = a[i-1] + nums[i]
但是我们不确定第i-1的房子有没有被偷，缺少信息。
因此得到第一个经验，当你一维数组不够用的时候，就需要升维。比如说这里我们只用一维的话，永远不知道之前房子有没有被偷盗。
优化： 定义数组a[i][0,1] 1:不偷，0偷
- 如果不偷第i个房子，那么第i-1个房子可以偷，也可以不偷，选择其中的最大值
- 如果偷第i个房子，那么之前的房子一定不偷，当前房子肯定偷
于是新的DP方程
a[i][0] = Max(a[i-1][0], a[i-1][1])a[i][1]= a[i-1][0] + nums[i]
高级DP必经之路，增加维度。
继续优化: 新的状态定义 a[i]: 0..i 天，第i天必偷的最大值，返回max(a)
DP方程: a[i] = Max(a[i-1] + 0, a[i-2] + nums[i])
这个定义下，就类似于斐波那契数组了。
继续强调，面试的时候定义状态最重要，竞赛则是定义DP方程最难。
对于初学者，建议从第二维开始，进阶到只用一个维度。初学者要从工整的DP开始，不要一步登天。
其他
Cpp的二维数组定义
容器: m行n列的0
vector<vector<int> > vec( m, vector<int> (n,0));
数组
//stack分配
int arr[m][n];
//heap分配
int **arr = new int*[m];//声明m行
for (int i = 0; i < m; i++){
arr[i] = new int[n]; //每个有n个元素
}
//删除
for (int i = 0; i < m; i++){
delete []arr[i];
}
delete [] arr;
数组求最大值和最小值(algorithm::max_element)
*max_element(dp, dp+m); //返回的是指针
在线的Cpp shell，http://cpp.sh/
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