为什么“分动能定理”这个错误的做法总能得到正确的结果？

从一个题目说起：

一个物体以初速度，从离地的地方水平抛出，在只考虑重力的情况下，求落地时动能。

常规解法：
根据动能定理：

得：

“分动能定理”解法：
由于物体平抛，只有在竖直方向受到重力，在竖直方向上使用动能定理，可以得到：

所以落地时动能为：


两种解法结果完全一样，但是第2种解法是完全错误的。类似的情况还常见于在电场中做类平抛运动的带电粒子。如果使用第2种方法计算也能得到正确的结果。为什么第1种方法是正确的，而第2种方法却是完全错误的呢？
关于这个问题，很多人只知道动能是个标量，动能不能按矢量的法则进行分解，因此使用“分动能定理”的做法是完全错误的。他们只知道错误的原因，却不知道为什么，错误的方法也能得到正确的结论。
关于这个问题，实际上是因为在正交分解的情况下使用“分动能定理”得到的结果总是正确的。但是如果是非正交分解的情况下，得到的结果却总是错误的。证明过程如下：
先考虑正交分解情形：
假设物体受力为，位移为，初速度为，末速度为，把，，，分别正交分解之后得到和，和，，，，。
对和方向分别使用动能定理：


这里有


而力所做的功为：



即

这个结果和直接用动能定理得到的结果完全一样。因此也就证明了，在正交分解的情况下，用“分动能定理”总是能得到正确的结果。
由上面的推导过程我们可以看出，之所以“分动能定理”这个错误的方法总能得到正确的结果，是因为两个方向的方程相加正好得到的结果和用动能定理的结果一致。动能等于两个方向的“分动能”之和
下面来证明如果是非正交分解，得到的结果就必然是错误的。
仍然对两个方向使用“分动能定理”：

为了省事，上面是几个图合在一起的。


此时合力做功仍然为：

两个方程相加得：


但是与上面不同的是此时合速度和分速度的关系要用余弦定理来表述，而非勾股定理。


显然：

少了一项：

由此可见造成总动能不等于两个方向“分动能”之和的根源在于不正交分解时使用余弦定理造成多出了最后一项。
所以在非正交分解的情况下，如果还使用所谓的“分动能定理”，那么必然得到错误的结果。
最后，即便正交分解的情况下总能得到正确的结论，但是这个解法是错误的。原因在于动能是标量，不可以按照矢量法则进行分解。