计算方法

今天上了我的第一节计算方法课，正如小伙伴Tenshine和我说的一样，数学才是程序员最后的天花板，而计算方法，正是在这个节骨眼，帮我把天花板再抬高一截的方法，可能学习过程中会很难受，可能会有许多不懂的地方，但是，也正是这些痛苦，最后让我站在别人的上面，不是吗？

受尽苦难而不厌，此之谓修罗之道

前言

李桂成老师开始给我们举得几个例子，让人印象深刻：

我们使用一个每秒进行12.5万次运算的计算机用克莱姆法则求解一个20阶的方程组，我们需要运算2亿4千多万年，但是如果我们用高斯消元法，我们只需要0.02s

我们解一个高阶方程，我们直接计算非常非常复杂，但是如果我们用二分法或者牛顿法，很快就可以迭代得到答案。

所以，我们可以发现：数学上很难解决的问题，可以通过计算方法解决，也就意味着，计算方法不简单的是数学的一个工具了，而是一个深远的学问。

误差理论

也是今天才知道，原来误差也有这么多学问。

误差来源

模型误差

模型误差就是：我们建立的数学模型的解和实际问题的解的误差

也就是说：模型选择问题

测量误差

测量误差就是：在测量具体数据时的误差

截断误差

数学模型的解与数值计算方法的误差

也就是说：计算方法选择问题

舍入误差

由于计算机字长限制带来的误差

误差度量

• 绝对误差与绝对误差限

  绝对误差就是估计值与真值的误差，但我们并不知道真值，那么我们只能得到一个包含绝对误差的区间，而形成区间的值就是误差限。

  对于误差限，还有一些补充的地方：

  误差限的取值并不唯一，但是通常取0.5x10的n次方

• 相对误差与相对误差限

  我们比较误差大小其实都是相对的，比如说：1m的误差，你说他的误差大吗？对于一个几百千米的高速公路来说，这一米太小了；但是你说小？那么你的桌子少一米，你绝对受不了，所以绝对误差一定程度下表示不了误差大小。所以，我们需要计算相对误差

  相对误差就是绝对误差除以物体真值，但是我们并不知道真值，所以计算中，我们通常取近似值作为真值计算，相同的我们提出，相对误差限。

• 有效数字

  首先要明确的就是：

  有效数字是针对近似值提出的，也就是说一个近似值或者说一类近似值有一个有效数字，所以，我们就要从近似值入手，比如说：

  

  我取他的近似值：3.14159

  那么，他的绝对误差限就可以是：0.0000026

  显然，他是小于0.000005的，所以我们就知道，这个近似值的有效数字就是从3到9.