矩阵分解

作者: xiiatuuo | 来源:发表于2018-11-08 23:46 被阅读0次

矩阵分解

前记

矩阵分解在推荐系统里面应该说是最经典、最有代表性的算法了。除了基础举证分解方法，后面衍生出了各种关于分解的方法，分解机、张量分解等等，我们来看看。

SVD

原始的SVD又名奇异值分解，如果是用户评分矩阵，首先需要对缺失值进行简单的不全，比如用全局平均，然后用SVD进行分解 $R=U^TSV$ 其中，R为原始的评分矩阵，维度是mn，U和V分贝是一个km和kn的正交矩阵，S为kk的对角矩阵，对角线上的每一个元素都是矩阵的奇异值。这种纯数学的方法计算量特别大，实际应用中的数据根本处理不了。Simon Funk的Funk-SVD方法解决了这个问题，思想很简单：直接通过训练集的观察值利用最小化RMSE学习P、Q矩阵，这就是机器学习的思想了。 $R=P^TQ$

SVD++

SVD矩阵分解非常成功，有很多的迭代的方法，最有名的就是SVD++了。提SVD++之前，我们先看一个简单的BiasSVD： $r_{ui} = \mu + b_u + b_i + P_u^T * q_i$
- $\mu$ 为训练集中所有记录的平均全局数
- b_u 为用户的偏置项，表示用户的评分偏好
- b_i 为物品的偏置项，表示物品的本身质量

如果将用户历史行为对用户评分预测影响考虑进来就是SVD++算法：

$r_{ui} = \mu + b_u + b_i + q_i^T * (p_u + \frac{1}{\sqrt{|N(u)|}}\sum_{j \in N(u)}y_j)$

SVD++的核心思想是把基于领域的itemCF算法用矩阵分解的方法实现，转换的方法是这样的：

itemCF算法其实可以转变成 $r_{ui} = \frac{1}{\sqrt{|N(u)|}} \sum_{j\in N(u)}w_{ij}$
把 $w_{ij}$ 不再看成是物品的相似度矩阵，而是一个和P、Q一样的参数。对w矩阵也进行分解，把参数个数降低到2nF个， $r_{ui} = \frac{1}{\sqrt{|N(u)|}} \sum_{j\in N(u)}x_i^T*y_j = \frac{1}{\sqrt{|N(u)|}} x_i^T* \sum_{j\in N(u)}y_j$ 其中 $x_i 和 y_j$ 是两个F维的向量
为了不增加太多参数导致过拟合，令x=q，这样就能得到上面的SVD++的模型了。

时间信息也是非常重要的，所有SVD++模型融合时间效应往往效果更好
$r_{ui} = \mu + b_u(t) + b_i(t) + q_i^T * (p_u(t) + \frac{1}{\sqrt{|N(u)|}}\sum_{j\in N(u)}y_j)$
具体的优化和迭代方法就不赘述了。

隐式反馈矩阵分解

spark的隐式反馈方法解析见https://www.jianshu.com/p/7d59612f9f49，核心思想是将观察到的隐式反馈值进行预测值和置信度的映射，重新改写了优化目标。

$p_{ui} = \begin{cases}1 \quad r_{ui} > 0 \\ 0 \quad r_{ui} = 0 \end{cases}$
$c_{ui} = 1 + \alpha log(1 + r_{ui} / \epsilon)$

FM

FM是目前非常经典的广义分解算法，Factorization Machines with libFM

FM为什么是广义分解算法，因为如果把user和item分别进行one-hot编码feed给FM，MF就变成了一个biased的FM模型，通过合适的特征变换方式，FM可以模拟二阶多项式核的SVM模型、MF模型、SVD++模型等。对于FM而言，我们可以加任意多的特征，比如user的历史购买平均值，item的历史购买平均值等，但是MF只能局限在两类特征。SVD++与MF类似，在特征的扩展性上都不如FM，在此不再赘述。

后面的FFM是FM的一个演进，通过引入field的概念，FFM把相同性质的特征归于同一个field，使得每两组特征交叉的隐向量都是独立的，可以取得更好的组合效果，但是使得计算复杂度无法通过优化变成线性时间复杂度。一般情况都是比FM效果更好，事实上，FM 可以看做只有一个场的 FFM。

基于特征的矩阵分解

svdFeature也是一种通用的分解模型，有能给把特征信息加入到矩阵分解中，比如时序信息，领域信息、层次信息等，具体分析见Feature-Based Matrix Factorization

张量分解

张量就是矩阵的推广，矩阵是二维关系建模，张量是N维关系建模。这个计算量太复杂了

开源工具

QMF：Quara出的单机多线程的加权ALS矩阵分解和BPR矩阵分解
lightfm：单机多线程的SVD矩阵分解、SVD++矩阵分解、BPR矩阵分解
spark：基于ALS的矩阵分解
LibFM ： FM的单机多线程版本
SVD-Feature：基于特征的矩阵分解单机多线程版本
xlearn：FM和FFM的单机多线程版本
libffm：FFM的单机多线程版本

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SVD

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隐式反馈矩阵分解

FM

基于特征的矩阵分解

张量分解

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