【PBRT】补充知识——曲线和曲面的微分几何

作者: 闪电的蓝熊猫 | 来源:发表于2019-11-03 20:00 被阅读0次

【PBRT】补充知识——曲线和曲面的微分几何
数学
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直线和曲线
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世界是什么？
导数、微分、偏导数、全微分、方向导数、梯度的定义与关系

pbrt的实现中，对球体进行了建模，而球的表面是曲面，所以，表示球面就用到了球的曲面参数方程。不仅如此，反走样技术中用到了曲面的其他属性（比如说曲率），所以，我就专门学了曲线和曲面的相关知识，在此做一个总结，复习学到的内容，并且希望能对想要连接曲线和曲面相关知识的读者有所帮助。

由于作者水平所限，文中如果有错误或者没有解释到位的地方，还请读者不吝指正。

本文主要讨论的内容是：可微参数曲线的定义、曲线的曲率、曲线的扰率、正则曲面的定义、第一基本形式、第二基本形式。

可微参数曲线

在实践过程中，我们要处理的大多数曲线都是参数曲线，而且都是可微的，所以，给一个参数曲线的定义不如给一个可微参数曲线的定义。下面是可微参数曲线的定义：

可微参数曲线是一种将 $R$ 域上的开区间 $I = (a, b)$ 内的元素，转换成 $R^3$ 域内的元素的可微映射，记作 $\alpha : I \to R^3$

从定义中可以看出，曲线本质上是一种对应关系，这种对应可以看成是一种函数，把一维空间中的元素映射到三维空间中去。那么显示生活中，啥东西是一维的呢？想来想去，只有一个东西是一维的，那就是时间！所以，参数曲线也可以看成是，一个点在三维空间中随着时间运动的轨迹！

来看一个参数曲线的例子——螺旋线

螺旋线的参数方程是，其中和都是标量。

曲线的切向量

曲线在某一点的切线意味着其在当前点的运动方向和速度，对研究曲线来说，切向量非常重要，几乎所有的定理或者公式都有切向量，所以，它是既曲线的定义之后，第二大重要的概念。

切向量的定义是：

如果曲线 $\alpha(t)$ 是可微参数曲线，那么它的一阶导数 $\alpha'(t)$ 就是曲线 $\alpha$ 在点 $t$ 出的切向量。

这个很容易理解，在学习微积分的时候，如何理解导数就是瞬时速度（虽然瞬时速度在现实生活中是不存在的），在一小段时间内，小车行驶的距离与这段时间的比值，不断将这段时间缩短，取其极限就成了瞬时速度。把这个概念用到曲线上，曲线的切向量就是这样推导出来的（上图中的 $\alpha'(t)$ 就是t点的切向量）。

曲线的弧长

计算曲线的弧长需要用到曲线的切向量，如果曲线在某一点没有切向量，这种曲线我们没法处理，而之前定义的可微参数曲线就解决了这个问题，可微参数曲线保证曲线是处处可导的（有切向量）。

但是光可微还不够，我们还需要一个条件，那就是曲线的一阶导数不为0。这就引出了正则曲线的定义。

如果 $\alpha(t) : I \to R^3$ 是可微参数曲线，其一阶导数在整个定义域 $I$ 上处处不为0，我们就说这条曲线是正则曲线。

然后，弧长的计算公式如下：

$s(t) = \int_{t_0}^{t}|\alpha'(u)|du$

这里不用 $a(t)$ 来表示是因为这个公式中只有一个变量那就是 $t$ ，而 $t$ 是积分的上限，其余的比如 $t_0$ ， $u$ 在这个式子中都不是变量。所以 $s(t)$ 本质上是一个关于积分上限 $t$ 的函数。

我们不妨这么来看，令 $f(u) = |a'(u)|$ ，则积分等式右边变成了 $\int_{t_0}^{t}f(u)du$ ，然后 $f(u)$ 积分之后变成 $F(u)$ ，于是弧长计算公式就变成：
$s(t) = \left.F(u)\right|_{t_0}^{t}$
也就是 $s(t)=F(t) - F(t_0)$ ，因为 $t_0$ 是一个常量，所以整个式子就是一个关于 $t$ 的函数。

还有一点要注意的是，对 $|\alpha'(u)|$ 积分之后，跟 $\alpha(u)$ 没有半毛钱关系，也就是说 $\int_{t_0}^{t}|\alpha'(u)|du$ 不能表示成 $\left.|\alpha(u)|\right|_{t_0}^{t}$ ，取 $\alpha'(u)$ 的长度会把表达式变成一个完全不同的函数，和 $\alpha(u)$ 不再有什么关系。

曲线的曲率

对一条曲线来说，我们很自然地会去考虑，这条曲线到底有多“曲”？那么，在数学上，怎么表示这个弯曲程度呢？答案是：曲率。

下面是曲率的定义：

令 $\alpha:I \to R^3$ 是一条正则参数曲线，其参数为 $s$ ，且参数 $s$ 恰好是曲线的弧长，那么曲线 $\alpha(s)$ 的曲率是 $|\alpha''(s)|$ ，记作 $\kappa(s)$ 。

乍一看，曲率的定义过于苛刻了，因为它要求曲线的参数正好是其弧长，这点似乎很难办到，但是我们在实际的应用过程中，这点还是比较容易办到的，因为：

对于任何正则参数曲线来说，都可以把它化作以弧长为参数的形式。

也就是说如果我有一条曲线，就说是 $\alpha(t)$ 吧，这个 $t$ 不是弧长。我可以找到一条曲线 $\beta(s)$ ，使得这个 $s$ 正好是 $\alpha(t)$ 的弧长。并且，这个 $\beta(s)$ 和 $\alpha(t)$ 是同一条曲线！然后，曲率的定义就可以在 $\beta(s)$ 上应用了，因为它喝 $\alpha(t)$ 是同一条曲线，所以 $\beta(s)$ 的曲率也就是 $\alpha(t)$ 的曲率。

以弧长为参数的曲线还有一个好处，就是 $\alpha''(s)$ 和 $\alpha'(s)$ 是垂直的。因为假如我们用弧长计算公式去计算的话，我们得到的结果是 $S(s)=\int_{s_0}^{s}|\alpha'(u)|du$ ，这个正好等于 $s$ ，也就是说 $|\alpha'(u)|$ 正好是1，并且恒等于1。即
$|\alpha'(s)|=1$
成立。那么我们可以得到 $\alpha'(s) \bullet \alpha'(s)=1$ ，对等式两边求导（运用乘积公式）得 $\alpha''(s)\bullet\alpha'(s)+\alpha'(s)\bullet\alpha''(s)=0$ ，化简得 $\alpha''(s)\bullet\alpha'(s)=0$
也就是说 $\alpha''(s)$ 与 $\alpha'(s)$ 是垂直的。

曲率的几何意义

现在我们知道曲线有多“曲”了，它的弯曲程度是 $\kappa(s)$ ，这是一个标量。那么，它的几何意义是什么？

我们可以很直观地想到，如果 $\kappa(s)$ 越大，那么这条曲线在点 $s$ 的附近就会越弯曲。所以，曲率的几何意义就是，当 $s$ 增加一个微小量 $\Delta{s}$ 之后，曲线 $\alpha(s)$ 在垂直于 $\alpha'(s)$ 的方向上（也就是 $\alpha''(s)$ 方向上）增加了多少。这与我们对弯曲程度的概念是一致的！

曲线的扰率

对曲线来说，曲率是沿着 $\alpha''(s)$ 方向弯曲的程度， $\alpha''(s)$ 与 $\alpha'(s)$ 垂直，也就是说 $\alpha''(s)$ 和 $\alpha'(s)$ 共同组成了一个平面。曲率是曲线在这个平面上的变化程度。

那么，如果我的曲线 $\alpha(s)$ 是三维空间中的一条曲线，只有曲率怕是不够的吧？没错，这就引出了另一个概念：扰率。

下面是关于扰率的计算过程：

令曲线 $\alpha(s)$ 是以弧长为参数的正则曲线， $t(s)=\alpha'(s)$ ，则其曲率为 $\kappa(s)=|\alpha''(s)|=|t'(s)|$
令 $n(s)=\frac{1}{\kappa(s)}\alpha''(s)=\frac{t'(s)}{|t'(s)|}$ ，即， $n(s)$ 是单位 $\alpha''(s)$ ，则
$b(s)=t(s)\times{n(s)} \quad\quad (1)$
由等式1可以推导得到：
$n(s)=b(s)\times{t(s)} \quad\quad (2)$
显然， $b(s)$ 是单位向量。那么就有
$b'(s)\bullet{b(s)}=0 \quad\quad (3)$
对式2两边求导可得 $b'(s)=t'(s)\times{n(s)}+t(s)\times{n'(s)}$ 很明显， $t'(s)$ 和 $n(s)$ 是线性相关的，所以它们的叉积是 $0$ 向量，所以，我们的等式可以化简为
$b'(s)=t(s)\times{n'(s)} \quad\quad (4)$
通过观察等式3和等式4我们可以知道， $b'(s)$ 与 $b(s)$ 是垂直的， $b'(s)$ 与 $t(s)$ 是垂直的，在观察等式2就可以得出结论 $b'(s)$ 与 $n(s)$ 是线性相关的，也就是说 $b'(s)$ 可以表示成
$b'(s) =\tau{n(s)}$
这个 $\tau$ 就是曲线的扰率！

很复杂的推理过程，比 $\kappa$ 要复杂地多。扰率的几何意义是，在垂直于 $\alpha'(s)$ 和 $\alpha''(s)$ 形成的平面的方向上，曲线的“弯曲”程度，也就是空间的第三个维度上的变化情况。

就是上图中方向上的变化情况。

正则曲面的定义

同样，从实际应用的角度出发，跟找曲面的意义相比，找正则曲面的意义更大。所以，下面要给出正则曲面的定义，说实话，正则曲面的定义比曲线的定义复杂很多，但是，复杂就不学了吗？

正则曲面的定义如下：

假设有一个 $R^3$ 的子集 $S$ ，如果对于 $S$ 上的每一点 $p$ ，都可以找到一个邻域 $V$ （ $V\subset{R^3}$ ），和一个映射 $x:U\to{V}\cap{S}$ ，其中 $U$ 是 $R^2$ 上的开集， $V\cap{S}$ 是 $V$ 和 $S$ 的交集，显然 $V\cap{S}\subset{R^3}$ ，满足如下的条件：
1、 $x$ 是可微的。这就表示 $x(u,v)$ 的各阶偏导数都存在。
2、 $x$ 是同胚映射。和条件1结合起来，这就意味着 $x$ 有一个逆映射 $x^{-1}$ 使得 $V\cap{S}\to{U}$ ，并且 $x^{-1}$ 是连续的。
3、对每一个 $q\in{U}$ ，微分运算 $dx_q:R^2\to{R}^3$ 是一一对应的。
那么，这个子集 $S$ 就是一个正则曲面。

研究研究定义就可以发现，数学上的曲面定义好苛刻啊。最苛刻的地方在于，它必须要有的映射关系，如果我们凭空绘制一个曲面，哪来的这种关系可以对应？更何况这映射还需要满足3个条件！

我们来仔细看看正则曲面的定义。首先， $S$ 上的一点 $p$ 的邻域 $V$ 是一个球，它和 $S$ 的交集就是 $S$ 的一个子集（注意还不能认为 $S$ 是一个曲面，所以交集就不能认为是一个面片）。然后， $S$ 的这个子集和 $U$ 有着一一对应的关系。最后，这种对应关系还需要满足1,2,3的条件。如此这般之后， $S$ 才能被称为是一个正则曲面。

第一基本形式

想要定义第一基本形式，先得定义曲面的切线空间的概念。

下面定义切线空间：

令 $x(u,v)$ 是一个正则参数曲面，则点 $p\in{S}$ 处的切线空间是向量 $x_u$ 和 $x_v$ 所张成的向量空间，其中 $x_u$ ， $x_v$ 分别是 $x$ 关于 $u$ ， $v$ 的偏导数。

有了切线空间的定义，我们就能定义曲面的第一基本形式了：

令 $w$ 是正则曲面 $S$ 在点 $p$ 处的向量空间中的一个向量，则曲面的第一基本形式为： $<w, w>$ ，其中 $<,>$ 符号表示两个向量的内积。

上面这个定义不好理解，我们举个例子说明一下就好了：
假设我们有一个正则曲面 $S$ ，它上面有一条参数曲线 $\alpha(t)=x(u(t), v(t))$ ，点 $p=\alpha(0)=x(u_0, v_0)$ 处的第一基本形式是：
$<\alpha'(0), \alpha'(0)>\quad=\quad<x_u{u'} + x_v{v'}, x_u{u'}+x_v{v'}>$
$\quad=\quad<x_u, x_u>(u')^2 + 2<x_u, x_v>u'v'+<x_v, x_v>(v')^2$
$=E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2$
其中，
$E\quad=\quad<x_u,\quad x_u>$
$F\quad=\quad<x_u,\quad x_v>$
$G\quad=\quad<x_v,\quad x_v>$
所以， $S$ 在点 $p$ 处的第一基本形式是： $E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2$ 。通常，我们都把这种样子的东西叫做第一基本形式，而 $E,F,G$ 被称为第一基本形式的系数！

注意：虽然有一些资料上说是曲面的第一基本形式，但是这是错误的叫法，曲面根本就没有什么第一基本形式，这只是曲面上的一点的第一基本形式，因为我们完全可以看出，这个式子计算出来的是一个标量，根本就不是曲面上的点！

第一基本形式的作用是计算曲面上曲线的长度，两条曲线交点切向量的夹角，或是某一块曲面片的面积。

第二基本形式

同第一基本形式一样，第二基本形式也不是曲面的，而是曲面上一点的。第二基本形式的几何意义是，曲面在当前这个点上的曲率是多少，也就是曲面在这点上有多“曲”。

第二基本形式的计算方法如下：

令曲面 $S=x(u,v)$ 是正则曲面，在点 $p$ 处的标准单位法线为 $\mathrm{N}=\frac{x_u\times{x_v}}{|x_u\times{x_v}|}$ ，则曲面 $S$ 在点 $p$ 处的第二基本形式是 $edu^2+2fdudv+gdv^2$ ，其中 $e=x_{uu}\bullet \mathrm{N},f=x_{uv}\bullet \mathrm{N},g=x_{vv}\bullet\mathrm{N}$ ， $x_{uu}$ 是 $x$ 关于 $u$ 的二阶偏导数，依次类推。 $e, f, g$ 被称为第二基本形式的系数。

从式子中也可以看出来，这玩意儿就是一个标量而已。所以，我不喜欢把它叫成曲面的第二基本形式，因为这会产生很大的歧义，仿佛这是曲面的表达式似的。

第二基本形式的产生思路是这样子的。前面我们研究曲线的时候，计算了曲线的曲率，有了一个量来表示曲线有多“曲”，那么自然地，我们也会想知道一个曲面有多“曲”，这就引出了第二基本形式。

第二基本形式是曲面上两点之间，法向量方向上的距离，如下图所示：

下面来推导这个第二基本形式。首先，假设曲面的参数形式是，曲面上一点p的坐标是，我们要求图中d的长度：，这个公式非常简单。难的是下面这步：
我们可以把用泰勒多项式展开，得到在点(0,0)附近的曲面的近似多项式曲面，就会得到：

其中是余项。当u和v的值趋近于0的时候，余项可以舍弃掉。
于是，我们得到

将这个式子带入到求的公式中

因为法向量垂直于切平面，所以和的值都是0，可以消去，所以我们得到了上面的式子。把放到括号里去，然后微小变化量我们通常用表示，就得到了第二基本形式

另一种第二基本形式的表示方式

另外一种第二基本形式的表示方式，可以说是一种巧合，因为它没有什么几何意义。我们来看：
因为 $<x_u, N>=0$ ，对这个式子两边求导我们可以得到
$<x_{uu}, N> + <x_u, N_u> = 0$
$<x_{uv}, N> + <x_u, N_v> = 0$
对 $<x_v, N>=0$ 两边求导可得
$<x_{vu}, N> + <x_v, N_u>=0$
$<x_{vv},N>+<x_v, N_v>=0$
这就说明
$e=<x_{uu},N>=-<x_u,N_u>$
$f=<x_{uv},N>=-<x_u,N_v>=-<x_v,N_u>$
$g=<x_{vv},N>=-<x_v,N_v>$
这就是说
$-dx*dN=-(x_udu+x_vdv)*(N_udu+N_vdv)$
$-dx*dN=-x_uN_udu^2+(-x_uN_v)dudv+(-x_vN_u)dudv+(-x_vN_v)dv^2=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$
没错，就是这么巧。也就是说
$-dx*dN$
也是第二基本形式。

为啥没意义呢？因为dx可以看成是x的某一个切向量，而dN可以看成是N的切向量（如果N看成是一个单位球的曲面的话，也可以说是高斯映射，当然，这是不正经定义），那么两个切向量的点积，还要求相反数，这就没有啥意义了。当然，这只是我个人的理解，如果读者有更好的理解的话，请留言告诉我，谢谢！

总结

说实话，这些定义都是非常基本的但是要理解这些东西也并不容易，其中的有一些概念可以扩展延伸成更有用的概念，在这里就不整理了，因为，只要这些基本的概念在，就不虚！

参考资料

Differential Geometry of Curves and Surfaces, by do Carmo
Elemetary Diffential Geometry Second Edition, by Andrew Pressley

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曲线的弧长

曲线的曲率

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正则曲面的定义

第一基本形式

第二基本形式

另一种第二基本形式的表示方式

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