写在前面
这篇文章是对 Braun, Martin, "Differential Equations and Their Applications", 4th ed.,Chap.4,4.5, Springer 的一段数学模型的翻译（略去了一些不重要的部分）和讨论。这本书是我在本科大二“线性代数及微分方程”这门课的推荐书籍，它的特色在于在理论之外给出了各种各样的模型的讨论：人口模型，分岔理论，淋病传播（查完这个单词跳出的图片瞎了我的眼），电路网络……不过这本书本来就属于 Springer 的 "Applied Mathematics" 系列，况且外国的应用不像中国的应用充满了一种小学应用题的强行应用的感觉，在数学公式之余还能扩充各种学科的知识，还是挺有趣的。
文中以两个星号（**）开头的段落不含数学讨论，只关注数学模型的读者可以跳过，不印象连贯性。
理查德森的冲突模型 (L. F. Richardson's theory of conflict)
**我们接着要建立描述互相对抗的国家间军事实力变化的数学模型。两国都在防范对方可能发起的进攻，并且将自己的军事筹备建立在对方的军事实力变化上。我们的模型基于理查德森（Lewis Fry Richardson）的研究。尝试建立对于国际政治或者战争预测的科学模型已经不是什么新事情了，虽然并不可能，但人们并没有停止脚步。就像理查德森所说：“为什么那么多的国家从不情愿却又从不停止军备竞赛？因为他们都准循着机械的传统，因为他们无法控制国与国的均势。用方程来描述这个过程并不是不可能的。”
首先，设想两个国家 Jedesland 和 Andersland 并用 x=x(t) 和 y=y(t) 分别表示它们军备实力（译注：jedes 在德语中是 every 的意思， anders 在德语中是 another,different 的意思， das Land 在德语中是国家的意思，本书作者是德国人）。x 的增长率显然决定于 y 的大小和 Jedesland 对于 Andersland 本身具有的不满之情。在最简单的模型中我们把这两项分别记为 ky 和 g (k,g>0)。另一方面，军费将限制 x 的增长，我们将这项记为 -ax (a>0)。对于 y 同理。于是我们得到了下列微分方程：
**战争的起因在历史上始终争论不休。修昔底德（Thucydides）声称军备导致了战争，在《伯罗奔尼撒战争》中他写道：“我相信导致战争的那个未被承认却真实重要的原因，是斯巴达人对于雅典军事力量增长的恐惧”。一战时英国外交部大臣爱德华·格雷（Edward Grey）也写道：“各国力量的增加并不能为他们带来想要的安全感和对自己力量的正确认识，反而会带来的他国的担忧和对实力增长的警觉。欧洲的各类军力增长带来的恐惧和不安全感使得战争不可避免。这就是这场大战真正的根源。”
**另一方面，埃默里（L. S. Amery，1930年代英国议会议员）则强烈的反对这种观点。在下议院中提到格雷大臣的观点时，埃默里回复说：“恕我冒昧地说一句，这位尊敬的政治家所说的观点是完全错误的，事实上军力竞争和战争仅仅是国际间目标利益冲突的表现。战争是由于塞尔维亚，意大利以及罗马尼亚觊觎奥地利的领土，而奥地利奋起反抗而导致的。而法国在一旁等待收复阿尔萨斯（AlsacaLorraine）的野心更扩大了战争的规模。这些国家利益的冲突而不是军力本身的存在导致了战争。”
我们的微分方程把两种冲突因素都考虑了进来，仔细观察式子我们可以做出一些重要猜测。首先假设 g 和 h 都是零，那么 x(t)=y(t)=0 就是方程的一个平衡解。也就是说，当 x，y，g，以及 h 都置为零时，我们可以得到 x(t)=y(t)=0 。这种理想状态就是无武装无敌意的永久平衡，比如1817年以来的美加边界以及1905年以来的瑞典挪威边界。
这同时也表明了有敌意存在时这种平衡是不可能的。假设 x 和 y 在某一时刻同时等于0，那么我们得到
因此当 A>0 时两国武装都将趋于无穷大。这也可以解释为一场大战即将来临。
很显然，我们的这个模型是不精确的，因为我们没有把国际合作和经济交易考虑进去。双边合作往往可以降低两国的敌意。这促使我们重新审视 x(t) 以及 y(t) 的定义：我们应把它们视为威胁量与合作量的差值。也就是说 x 是 Jedesland 的军费减去其对 Andersland 的出口量，对 y 同理。注意到合作往往是双赢，而军备竞赛往往带来更大一轮的竞赛。并且，国家往往有出于开销的考虑而减少合作的倾向，因此我们的修正意义代表了一种更普遍的情况。这里我们把修正记为
我们得到
并且当
这意味着
将表格画在图中我们得到
其斜率
原书Reference：Richardson, L. F.., "Generalized foreign politics," The British Journal of Psychology, monograph supplement #23, 1939
翻译完发现好累..后面还有一个以人数和武器建模的军队伤亡模型(并且用于硫磺岛比这个吻合的多的)不知道要不要继续..
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