数学上的叠加

考虑一个现存的波 f(x,t) 在线性条件下我们可以将其分解为 f(x,t) = g(x,t) + g(x,t) 其中 g(x,t) = 0.5 f(x,t) 。这在数学上没有问题，在振幅等线性物理量也没问题，但显然 f(x,t) 承载的能量并不是两倍的 g(x,t)，不“能量守恒”。但我们必须意识到，我们所说的能量守恒是物理过程中的，必须是物理上真实存在的两个波的叠加才有能量守恒的要求，这里真实存在的只有 f(x,t) ，两个 g(x,t) 是我们想象出来的，其叠加为 f(x,t) 并不是物理过程。这也恰恰说明，在数学上线性分解波的方法只能得到正确的线性量（如振幅），不能通过简单加和的方式得到正确的能量。

物理上反向波的叠加以及其他情况

赵凯华老师的文章“波叠加时的能量佯谬”说的很清楚，此处不赘述。（见 https://wenku.baidu.com/view/35f49837f111f18583d05a48.html
）

物理上同向波的叠加

首先我们考虑无耗散波，根据 K-K 定理（赵老师的文章有讲），无耗散波也一定无色散，大家都跑的一样快，正因为如此，我们没办法让两个真实存在的波同向叠加，因为后面的永远追不上前面的，只能考虑一种近似同向合成的办法。

我们考虑当一正弦波 sin(kx-wt) 传播到 x0 处时我们在 x0 处施加一能够产生 -sin(kx-wt) 的波的力（一堵坚硬无比的墙就可以做到），相当于反向波一出现就和原来的波叠加了，这时我们考察其情况：

对于 x0 点，无位移，外力不做功，介质也不克服外力做功，无能量传递。当然可以说实际情况不可能不动，因为施力物体本身也会受力，但其位移可能极小，极限情况就是完全不动。就类似小球撞墙。
由于“数学上的叠加”对于振幅的线性叠加是可以得到正确结果的，我们单独考虑外力本该产生的波，外力产生的应当是 -sin(kx-wt) 的波和与其关于 x0 点镜像对称的朝另一方向运动的波 g(x,t)。与原波叠加后我们发现 x0 的一侧将没有波，另一侧是 g(x,t) 与 sin(kx-wt) 的叠加，相当于波在 x0 点弹回去了。能量上，本来应当穿过 x0 的能量被弹回去的波承载了。
关于反弹回去的波和原波的叠加，两者波峰对波峰时，振幅线性叠加，根据振幅计算出来的能量似乎大于两列波的能量。其实不然，如果我们考虑波的另外一个物理量（见赵老师的文章），那个物理量刚好完全相消，多出来的能量实际上是从另一种能量转换来的。

与数学上叠加的例子的关系

同样的我们可以采取上述方法产生同向增强的波，穿过 x0 后基本上就是数学上叠加举的那个例子，此时可是物理上的叠加，会不会出问题呢？其实不会的，我们发现如果是增强波的话 x0 的振幅也就大了，外力会做更多的功。也许可以进行更定量的计算，这里就不算了。基本上是穿过 x0 前的能量相当于原来的波的能量（假想其实还是弹回来了，只不过只是振幅反了一下，对能量无影响），而穿过 x0 的波的能量完全由外力提供。当然事实上能量不是这么分配的，但这可以用来说明：外力的功 + 原来的波的能量 = 叠加后的波的能量。

所谓“物理上的”就是真实 x,t 时的波形，在 x,t 时考虑波形是其他若干波形的叠加都不是物理上的叠加，物理上的叠加是指 x,t1 时的波形变为 x,t2 时的波形，我们考虑的守恒是 x,t1 时的能量和 x,t2 时的能量守恒。而为什么叫“叠加”呢？是因为我们把波“看作”两列，这两列交汇在了一起，但真正去算能量时，算的总是整个波形，而不是我们“看作”的两列波的能量再求和。

“看作”本身不保能量，但也不是绝对破坏能量守恒；保能量的是能量的广延性，即总能量等于部分能量之和。开始两列“看作”的波没交汇的时候，我们可以把全空间分成两部分，每部分只包含“看作”的一列波，此时“看作”的波形就是实际的波形，“看作”的能量就是实际的能量，两个“看作”的波的能量的和就是两部分的和，就是总能量。