Dijkstra
原理
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通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点vs(即从顶点vs开始计算)。
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引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点vs的距离)。
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初始时，S中只有起点vs；U中是除vs之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点vs到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
实现步骤
(1) 初始时，S只包含起点vs；U包含除vs外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点vs到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(vs,v)的长度，然后vs和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点vs的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(vs,v)的距离可能大于(vs,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
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实例
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package com.maozw.algorithm;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Dijkstra {
/** 邻接矩阵 */
private int[][] matrix;
/** 表示正无穷 */
private int MAX_WEIGHT = Integer.MAX_VALUE;
/** 顶点集合 */
private String[] vertexes;
/**
* 创建图2
*/
private void createGraph2(int index) {
matrix = new int[index][index];
vertexes = new String[index];
int[] v0 = { 0, 1, 5, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
int[] v1 = { 1, 0, 3, 7, 5, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
int[] v2 = { 5, 3, 0, MAX_WEIGHT, 1, 7, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
int[] v3 = { MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT, 0, 2, MAX_WEIGHT, 3, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
int[] v4 = { MAX_WEIGHT, 5, 1, 2, 0, 3, 6, 9, MAX_WEIGHT };
int[] v5 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT, 3, 0, MAX_WEIGHT, 5, MAX_WEIGHT };
int[] v6 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 3, 6, MAX_WEIGHT, 0, 2, 7 };
int[] v7 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 9, 5, 2, 0, 4 };
int[] v8 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 7, 4, 0 };
matrix[0] = v0;
matrix[1] = v1;
matrix[2] = v2;
matrix[3] = v3;
matrix[4] = v4;
matrix[5] = v5;
matrix[6] = v6;
matrix[7] = v7;
matrix[8] = v8;
vertexes[0] = "v0";
vertexes[1] = "v1";
vertexes[2] = "v2";
vertexes[3] = "v3";
vertexes[4] = "v4";
vertexes[5] = "v5";
vertexes[6] = "v6";
vertexes[7] = "v7";
vertexes[8] = "v8";
}
/**
* 创建图1
*/
private void createGraph1(int index) {
matrix = new int[index][index];
vertexes = new String[index];
int[] v0 = { 0, 1, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 2, MAX_WEIGHT };
int[] v1 = { 1, 0, 1, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
int[] v2 = { MAX_WEIGHT, 1, 0, 1, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
int[] v3 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 1, 0, 1, MAX_WEIGHT };
int[] v4 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 1, 0, 1 };
int[] v5 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 1, 1, 0 };
matrix[0] = v0;
matrix[1] = v1;
matrix[2] = v2;
matrix[3] = v3;
matrix[4] = v4;
matrix[5] = v5;
vertexes[0] = "A";
vertexes[1] = "B";
vertexes[2] = "C";
vertexes[3] = "D";
vertexes[4] = "E";
vertexes[5] = "F";
}
/**
* Dijkstra最短路径。
*
* vs -- 起始顶点(start vertex) 即，统计图中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
*/
public void dijkstra(int vs) {
// flag[i]=true表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取
boolean[] flag = new boolean[vertexes.length];
// U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)，与 flag配合使用,flag[i] == true 表示U中i顶点已被移除
int[] U = new int[vertexes.length];
// 前驱顶点数组,即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
int[] prev = new int[vertexes.length];
// S的作用是记录已求出最短路径的顶点
String[] S = new String[vertexes.length];
// 步骤一：初始时，S中只有起点vs；U中是除vs之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点vs到该顶点的路径"。
for (int i = 0; i < vertexes.length; i++) {
flag[i] = false; // 顶点i的最短路径还没获取到。
U[i] = matrix[vs][i]; // 顶点i与顶点vs的初始距离为"顶点vs"到"顶点i"的权。也就是邻接矩阵vs行的数据。
prev[i] = 0; //顶点i的前驱顶点为0
}
// 将vs从U中“移除”（U与flag配合使用）
flag[vs] = true;
U[vs] = 0;
// 将vs顶点加入S
S[0] = vertexes[vs];
// 步骤一结束
//步骤四：重复步骤二三，直到遍历完所有顶点。
// 遍历vertexes.length-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
int k = 0;
for (int i = 1; i < vertexes.length; i++) {
// 步骤二：从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中（如果vs顶点到x顶点还有更短的路径的话，那么
// 必然会有一个y顶点到vs顶点的路径比前者更短且没有加入S中
// 所以，U中路径最短顶点的路径就是该顶点的最短路径）
// 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
int min = MAX_WEIGHT;
for (int j = 0; j < vertexes.length; j++) {
if (flag[j] == false && U[j] < min) {
min = U[j];
k = j;
}
}
//将k放入S中
S[i] = vertexes[k];
//步骤二结束
//步骤三：更新U中的顶点和顶点对应的路径
//标记"顶点k"为已经获取到最短路径（更新U中的顶点，即将k顶点对应的flag标记为true）
flag[k] = true;
//修正当前最短路径和前驱顶点（更新U中剩余顶点对应的路径）
//即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
for (int j = 0; j < vertexes.length; j++) {
//以k顶点所在位置连线其他顶点，判断其他顶点经过最短路径顶点k到达vs顶点是否小于目前的最短路径，是，更新入U，不是，不做处理
int tmp = (matrix[k][j] == MAX_WEIGHT ? MAX_WEIGHT : (min + matrix[k][j]));
if (flag[j] == false && (tmp < U[j])) {
U[j] = tmp;
//更新 j顶点的最短路径前驱顶点为k
prev[j] = k;
}
}
//步骤三结束
}
//步骤四结束
// 打印dijkstra最短路径的结果
System.out.println("起始顶点：" + vertexes[vs]);
for (int i = 0; i < vertexes.length; i++) {
System.out.print("最短路径（" + vertexes[vs] + "," + vertexes[i] + "):" + U[i] + " ");
List<String> path = new ArrayList<>();
int j = i;
while (true) {
path.add(vertexes[j]);
if (j == 0)
break;
j = prev[j];
}
for (int x = path.size()-1; x >= 0; x--) {
if (x == 0) {
System.out.println(path.get(x));
} else {
System.out.print(path.get(x) + "->");
}
}
}
System.out.println("顶点放入S中的顺序：");
for (int i = 0; i< vertexes.length; i++) {
System.out.print(S[i]);
if (i != vertexes.length-1)
System.out.print("-->");
}
}
public static void main(String[] args) {
Dijkstra dij = new Dijkstra();
//dij.createGraph1(6);
dij.createGraph2(9);
dij.dijkstra(0);
}
}
输出
起始顶点：v0
最短路径（v0,v0):0 v0
最短路径（v0,v1):1 v0->v1
最短路径（v0,v2):4 v0->v1->v2
最短路径（v0,v3):7 v0->v1->v2->v4->v3
最短路径（v0,v4):5 v0->v1->v2->v4
最短路径（v0,v5):8 v0->v1->v2->v4->v5
最短路径（v0,v6):10 v0->v1->v2->v4->v3->v6
最短路径（v0,v7):12 v0->v1->v2->v4->v3->v6->v7
最短路径（v0,v8):16 v0->v1->v2->v4->v3->v6->v7->v8
顶点放入S中的顺序：
v0-->v1-->v2-->v4-->v3-->v5-->v6-->v7-->v8
Process finished with exit code 0
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