Fourier Transform

• 概述

  傅里叶变换是将信号从空域（即时间域或空间域）转换到频域的过程。在傅里叶变换中，信号可以表示为不同频率的正弦和余弦波的线性组合，在进行傅里叶变换时，使用积分的思想，将分解成不同频率的正弦和余弦函数的信号进行线性叠加，得到频谱表示。这个分解过程是在时间（对于时域信号）或空间（对于空间域信号）上进行积分。

  在傅里叶变换中，将一个函数（时域函数或空间域函数）表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。具体而言，给定一个连续函数 在时间或空间域上，它的傅里叶变换 表示为：
  

  • 其中， 是频率变量， 和 是函数 定义域上的一个区间。
  • 变换中使用了欧拉公式 。是一个既含有 组分也含有 组分的复数指数形式。
  • 傅里叶变换实际上将原始函数 与 和 这组正交基分别进行内积运算（或者说与旋转因子 进行内积运算）。这样做会在频域中计算每个频率分量的幅度和相位信息，而经过整个空间范围的积分操作，就类似于求取两个函数之间的内积。
  • 通过积分操作，可以将 的每个位置 的信息融合到频域的每个频率分量上。这样，就得到了频域表示 ，其中 对应的振幅和相位信息通过对空域的积分被捕获。这种情况下，频域中的 值对应不同的频率成分。

  所以，从数学层面来看，傅里叶变换中对空域或时域积分实际上是通过将原始函数与正弦和余弦函数进行内积运算，融合每个位置的信息到频域中的不同频率成分上。这使得可以得到频域中每个频率的振幅和相位信息。

总结起来，傅里叶变换是将信号从空域或时域转换到频域的过程，利用积分的思想，将信号分解成正弦和余弦函数的频谱表示，频谱中不同元素表示不同频率成分的振幅和相位信息（实部为振幅、虚部为相位）。

Inverse Fourier Transform

• 概述：

  • 傅里叶逆变换是将频域中的信号转换为空域或时域中的信号。频域积分实际上是将频域中的信号进行连续相乘，并将结果进行积分。根据傅里叶逆变换的定义，该积分操作可以看作是对频域信号进行加权求和，并且根据信号的频率分布，将不同频率的成分转换为空域或时域成分。
    
  • 具体来说，频域积分可以看作是将频域信号的振幅按照一定权重进行加权叠加。进行傅里叶逆变换时，将每个频率成分的振幅与对应的权重相乘，并对所有频率进行求和，就得到在空域或时域中的信号，实质上是将频域中的信号按照一定的规律重新映射回空域中。

总结起来，傅里叶逆变换通过对频域信号进行加权求和的操作，将频域中的信号映射回时域或空域中。这个加权求和的操作数学上是对频域中的信号进行积分，利用线性叠加原理，将不同频率的成分组合为空域或时域信号。