第2章 模型评估与选择

2.1经验误差与过拟合

①误差(error)：学习器的预测输出与样本的真实输出之间的差异

②训练误差(training error)或经验误差(empirical error)：在训练集上的误差

③测试误差(test error)：在测试集上的误差

④泛化误差(generalization error)：学习器在所有新样本上的误差 

⑤过拟合(overfitting)：学习能力过于强大，把训练样本自身的一些特点当成所有潜在样本都会有的一般性质，导致泛化能力下降

⑥欠拟合(underfitting)：学习能力太差，对训练样本的一般性质尚未学好 在过拟合问题中，训练误差很小，但测试误差很大；在欠拟合问题中，训练误差和测试误差都比较大。目前，欠拟合问题容易克服，如在决策树中扩展分支，在神经网络中增加训练轮数；但过拟合问题是机器学习面临的关键障碍。

⑦模型选择：在理想状态下，选择泛化误差最小的学习器。

2.2评估方法

通常，我们可通过实验测试来对学习器的泛化误差进行评估而做出选择。为此，需要使用一个“测试集”来测试学习器对新样本的判别能力，然后用测试集的“测试误差”作为泛化误差的近似，需要注意的是测试集应该尽可能与训练集互斥。在包含m个样例的数据集D中得到训练集S和测试集T，有以下几种方法：

2.2.1留出法

将数据集D划分为两个互斥的集合，一个作为训练集S，一个作为测试集T，即D=S∪T且S∩T=∅。需要注意的是：训练/测试集的划分要尽可能保持数据分布的一致性，避免因数据划分过程引入额外的偏差而对最终结果产生影响，一般采用分层抽样，保持样本类别比例相似。但单次留出法得到的结果往往不够稳定可靠，一般要采用若干次随机划分，重复实验评估后取平均值作为留出法最后的结果。常用的划分为：大约2/3-4/5的样本用于训练，剩下的用于测试。

2.2.2交叉验证法（k折交叉验证）

将数据集D划分为k个大小相同的互斥子集，即D=D1∪D2∪…∪Dk，Di∩Dj=∅（i≠j），同样为尽可能保持数据分布的一致性，采用分层抽样的方法获得这些子集。交叉验证法的思想是：每次用k-1个子集的并集作为训练集，余下的那个子集作为测试集，这样就有k种训练/测试集划分的情况，从而可进行k次训练和测试，最终返回k次测试结果的均值。交叉验证法评估结果的稳定性很大程度上取决于k的取值，k最常用的取值是10，此时称为10折交叉验证，示意图如下：

与留出法类似，将数据集D划分为k个子集存在多种划分方式，因此要随机使用不同的划分重复p次，最终的评估结果是这p次k折交叉验证结果的均值，常见的是10次10折交叉验证。特殊地，当k=m时，划分的k个子集的每个子集中只有一个样本，称为“留一法”，留一法中被实际评估的模型与期望评估的用D训练出的模型相似，因此，其评估结果比较准确，但计算机的开销是巨大的。

2.2.3自助法

给定包含m个样本的数据集D，每次随机从D 中挑选一个样本，将其拷贝放入D’，然后再将该样本放回初始数据集D 中，使得该样本在下次采样时仍有可能被采到。重复执行m 次，就可以得到了包含m个样本的数据集D’。可以得知在m次采样中，样本始终不被采到的概率取极限为：

即通过自助采样，初始样本集D中大约有36.8%的样本没有出现在D’中，于是可以将D’作为训练集，D-D’作为测试集。自助法在数据集较小，难以有效划分训练/测试集时很有用，然而自助法产生的数据集（随机抽样）改变了初始数据集的分布，这会引入估计偏差。因此，在初始数据量足够时，留出法和交叉验证法更常用。

2.2.4调参和最终模型

大多数学习算法都有些参数(parameter) 需要设定，参数配置不同，学得模型的性能往往有显著差别，这就是通常所说的”参数调节”，简称”调参” (parameter tuning)。学习算法的很多参数是在实数范围内取值，因此，对每种参数取值都训练出模型来是不可行的。常用的做法是对每个参数选定一个范围和步长λ。简单估计一下：假定算法有3 个参数，每个参数仅考虑5 个候选值，这样对每一组训练/测试集就有5*5*5= 125 个模型需考察，很多学习算法有不少参数需要设定，工程量浩大，参数调得好不好对最终模型的性能有关键影响。另外，需注意的是，当选定好模型和调参完成后，应该用初始数据集D重新训练模型，即让最初划分出来用于评估的测试集也被模型学习，增强模型的学习效果。

2.3性能度量

①性能度量（performance measure）：衡量模型泛化能力的评价标准，在对比不同模型的能力时，使用不同的性能度量往往会导致不同的评判结果。

②均方误差(mean squared error)：回归任务中最常用的性能度量。

2.3.1错误率和精度

在分类任务中，即预测离散值的问题，最常用的两种性能度量，错误率是分类错误的样本数占样本总数的比例，精度则是分类正确的样本数占样本总数的比例，错误率+精度=1。

2.3.2查准率/查全率/F1

错误率和精度虽常用，但不能满足所有的需求，例如：在信息检索中，我们经常关心检索出的信息中有多少是用户感兴趣的（即查准率: precision），或者说用户感兴趣的信息中有多少被检索出来了（即查全率:recall）。因此，使用查准/查全率更适合此类需求的性能度量。对于二分类问题，分类结果混淆矩阵与查准/查全率定义如下：

查准率与查全率是一对矛盾的度量。一般来说，查准率越高时，查全率往往偏低；而查全率高时，查准率往往偏低。例如我们想让检索出的内容尽可能用户全都感兴趣，那只能检索我们把握高的内容，这样就漏掉了一些用户感兴趣的内容，查全率就低了；如果想让用户感兴趣的内容都被检索出来，那只有将所有内容都检索出，这样查准率就很低了。“P-R曲线”是描述查准/查全率变化的曲线，P-R曲线定义如下：根据学习器的预测结果（一般为一个实值或概率）对测试样本进行排序，将"最可能"是正例的样本排在前面，"最不可能"是正例的排在后面，按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，每次计算出当前的P值和R值，如下图所示：

若一个学习器C的P-R曲线被另一个学习器A的P-R曲线完全包住，可称学习器A的性能优于学习器C。若两个学习器的P-R曲线发生交叉，则比较它们的面积，面积大的性能优。但一般来说，面积很难估算，因此衍生了“平衡点”(Break-Event Point，简称BEP)，即当P=R时的取值，平衡点的取值越高，性能越优。 P和R指标有时会出现矛盾的情况，这样就需要综合考虑他们，最常见的方法就是F-Measure，又称F-Score。F-Measure是P和R的加权调和平均，即：

特别地，当β=1时，也就是常见的F1度量，是P和R的调和平均，当F1较高时，模型的性能越好。

有时候我们会有多个二分类混淆矩阵，例如：多次训练或者在多个数据集上训练，那么估算全局性能的方法有两种，分为宏观和微观。简单理解，宏观就是先算出每个混淆矩阵的P值和R值，然后取得平均P值macro-P和平均R值macro-R，再算出Fβ或F1，而微观则是计算出混淆矩阵的平均TP、FP、TN、FN，接着进行计算P、R，进而求出Fβ或F1。

2.3.3 ROC与AUC

学习器对测试样本的评估结果一般为一个实值或概率，设定一个阈值，大于阈值为正例，小于阈值为负例，因此这个实值的好坏直接决定了学习器的泛化性能，若将这些实值排序，则排序的好坏决定了学习器的性能高低。ROC曲线正是从这个角度出发来研究学习器的泛化性能，ROC（Receiver Operating Characteristic）曲线与P-R曲线十分类似，都是按照排序的顺序逐一按照正例预测，不同的是ROC曲线以“真正例率”（True Positive Rate，简称TPR）为横轴，纵轴为“假正例率”（False Positive Rate，简称FPR），ROC偏重研究基于测试样本评估值的排序好坏。

现实任务中通常利用有限个测试样例来绘制ROC图，无法产生（a）中的光滑曲线，只能绘制出如图（b）的近似ROC曲线。绘制过程如下：给定m+个正例和m-个反例，根据学习器预测结果对样例进行排序，然后把分类阈值设为最大，即把所有样本都预测为反例，真正例率和假正例率均为0，在坐标（0,0）处标记一个点。然后，将分类阈值依次设为每个样例的预测值，即依次将每个样例划分为正例。设前一个标记点坐标为（x,y），当前若为真正例，则对应标记点的坐标为（x,y+1/m+）；若当前为假正例，则对应标记点的坐标为(x+1/m-,y)，然后用线段连接相邻点即可。进行学习器的比较时，与P-R图相似。ROC曲线下的面积定义为AUC(Area Under ROC Curve)，不同于P-R图，这里的AUC是可计算的，即曲线下每一个小矩形的面积之和。AUC越大，证明排序的质量越好，AUC=1，表示所有正例排在负例前面，AUC=0则相反。

2.3.4 代价敏感错误率与代价曲线

为权衡不同类型错误所造成的不同损失，可为错误赋予“非均等代价”(unequal cost)。以二分类任务为例，设定一个“代价矩阵(cost matrix)”，cost_ij表示将第i类样本预测为第j类样本的代价，一般来说，损失程度相差越大，cost01和cost10值的差别越大。如下：

在非均等错误代价下，我们希望最小化总体代价(total cost)，则“代价敏感(cost-sensitive)”的错误率为

在非均等错误代价下，ROC曲线不能直接反映出学习器的期望总体代价，而“代价曲线”可达到目的。代价曲线横轴是取值在[0,1]之间的正例概率代价

其中p表示正例的概率，纵轴是取值为[0,1]的归一化代价。

代价曲线的绘制很简单：设ROC曲线上点的坐标为(TPR，FPR) ，则可相应计算出FNR=1-TPR，然后在代价平面上绘制一条从(0，FPR) 到(1，FNR) 的线段，线段下的面积即表示了该条件下的期望总体代价；如此将ROC 曲线土的每个点转化为代价平面上的一条线段，然后取所有线段的下界，围成的面积即为在所有条件下学习器的期望总体代价，如图所示：