艾滋病检测里的贝叶斯公式

作者: gyher | 来源:发表于2019-08-03 19:58 被阅读0次

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Naive-Bayes(朴素贝叶斯）
具体算法4 - 概率和朴素贝叶斯

假设一个地区的艾滋病发病率是千分之一。
某种测试手段出现真阳性（确实患有hiv，且检查结果为阳性)概率为100%；出现假阳性（误诊为阳性）概率为5%
如果目前有一个未知病史的人被测出 HIV 阳性，那么这个人真携带 HIV 的可能性是多少？
一个人的测试结果用A表示，一个是是否携带HIV用B表示，则题目可描述为：
已知， $P(B=1) = \frac{1}{1000}, P(B=0) = \frac{999}{1000}$
$P(A=1|B=1) = 1, P(A=1|B=0)=\frac{5}{100}$ ，求 $P(B=1|A=1)=?$
解： $P(B=1|A=1) = \frac{P(A=1, B=1)}{P(A=1)} = \frac{P(A=1|B=1) * P(B=1)}{P(A=1)}$
$=\frac{P(B=1)}{P(A=1)}$
又一个人是否携带HIV是互斥事件，所以：
$P(B=1|A=1) = 1 - P(B=0|A=1) = 1 - \frac{P(A=1|B=0)* P(B=0)}{P(A=1)}$
设 $P(A=1)=x$ , 则:
$\frac{P(B=1)}{x} = 1 - \frac{P(A=1|B=0) * P(B=0)}{x}$
求得 $x = \frac{1019}{20000}$ , $P(B=1|A=1) = \frac{20}{1019} \approx 0.02$

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