不定义的定义

对比的看《几何原本》与《希尔伯特几何基础》，可以发现，欧几里得对“点、线、平面”都下了定义，而这些定义读起来充满了玄学色彩，依旧让人感觉神秘莫测（绝无贬低《几何原本》的意思），例如“点不可以再分割成部分”，“线是无宽度的长度”，“面只有长度和宽度”，“直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺”，“平面是直线自身的均匀分布”等。

但看直线的定义，提到了“无限”，而“无限”充满了形而上学的色彩，毕竟人类所能接触的事物，基本上是有限的，人的生命有限，人活动的时间和空间有限，如何能理解无限呢？有限的人其实不能理解无限。定义中还提到了“平铺”，那么怎样才算“平”呢？老师讲解的时候，也只能用比喻，例如像“水面静止的样子”，“像镜子那样”，这又充满了文学的色彩，完全不像在讲述数学。何况，地球是圆的，海的平面近处看是平的，但大家都知道，它实际是地球球面的一部分，因此，用水面来比喻就不严谨了。用镜子比喻更不严谨，微观下的镜子，其实是凹凸不平的。这样讲，有一点点抬杠的意味，但数学应该欢迎抬杠。如果不抬杠，就不要深究。

希尔伯特的方法是，对“点，直线，平面”不下定义。只说“设想有三组不同的对象”。也就是说，这三组对象是设想出来的，现实中是不存在的。不容易说清楚它们是什么，但是，可以通过它们之间的关系来表明它们是什么。然后，紧接着用五组公理来揭示它们之间的关系。

书中虽然有“定义”两个字，但实际上，希尔伯特并没有真的定义“点、直线、平面”。这种定义十分的唯物，就像马克思主义对“人”的定义一样，“人的本质是一切社会关系的总和”。通过“关系”来定义发生关系的事物，而对事物本身不定义。

一切关系的总和

五组公理，指出“点、直线、平面”之间有什么关系。同时，暗示了：只有相互之间发生这些关系的事物，才是“点、直线、平面”。

关联公理

关联公理有五条。
（简书不方便用Latex了，所以不打罗马数字了，也省略很多图形，下面的"第一"原文是罗马数字）

第一 对于两点A和B,恒有一直线a,它同A和B这两点中的每一点相关联。

第二 对于两点A和B,至多有一直线,它同A和B这两点中的每一点相关联。

这两个公理其实只说了一句话“两点确定一直线”。第一说过两点的直线“存在”，第二说“至多有一直线”，合并起来就是“过两点，有且仅有一条直线”，简略的说就是“两点确定一直线”。

那么，为什么要分开说呢？因为你也可以说“过两点，有无穷条彼此重合的直线”，你承认“存在性”，否定“唯一性”，那么恭喜你，你大概创造了一种新的几何。而事实上，实践中，很多绘图的软件就是这样做的，过两点，可以绘制多条彼此重合的直线，然后每条直线可以绘制不同的颜色，命名不同的名称，显示不同的部分、不同的线型。

第三 一直线上恒至少有两点，至少有三点不在同一直线上。

通俗的说就是：直线上总可以取两个点，总可以取直线外一点。
前半部分其实是公理一的逆“操作”，过两点可以作直线，逆“操作”是“给定直线可以取其上两个点”。
后半部分是说空间中存在不共线的三点。

第四 对于不在同一直线上的任意三点A,B,和C，恒有一平面alpha，它同A,B,C这三点的每一点相关联。对于任一平面，恒有一点同这平面相关联。

第五 对于不在同一直线上的任意三点A,B,和C，至多有一平面，它同A,B,C这三点的每一点相关联。

类似的，这两个命题说的是“不共线的三点确定一个平面”，先说“存在性”，再说“唯一性”。

但公理四还说了一件事，“总可以取平面上一点”，直线上都能取两个点，为什么平面上这么吝啬呢？因为后文还有办法，只要取到一个，就有办法取到更多。作为公理，自然越少越妙。

第六 若一直线a的两点A和B在一平面alpha上，则a的每一点都在平面alpha上。

第七 若两平面alpha和beta有一公共点A，则它们至少还有一公共点B。

第八 至少有四点不在同一平面上。

这三条公理如同字面上的意思，比较容易理解。

从第一到第三是平面公理，从第四到第八是空间公理。