第一型曲线曲面积分公式总结

作者: 流星落黑光 | 来源:发表于2018-10-26 20:12 被阅读0次

由于最近在学数理方程，学到三维空间的偏微分方程经常要求曲线曲面积分，再次整理复习一下……
目前主要用第一型，所以只整理了第一型的公式。

什么是第一型、第二型？

简单的说一下，第一型就是针对标量的积分，第二型是针对矢量的积分。比如说，求一根绳子的重量，就是对绳子的线密度作第一型曲线积分。普通的长度面积这种都是第一型。
第二型是对矢量的积分，比如说一个力f作用在曲线运动上，f的方向可以改变，那要求这个力所做的功就涉及到f的方向转变和f作用点的位置变化，就是第二类曲线积分。类似的，求流量、磁通量等也是第二类曲面积分。

第一型曲线积分

定义：

$\int _L f(x,y,z)ds = \lim_{\|T\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i$
解释一下：L是积分路径，也就是曲线。T是对L的一个分割（分割点为 $P_1,P_2,\dots,P_{n-1}$ ），将L分成n份，每份 $\widehat{P_{i-1}P_i}$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 。思路是用这个点的函数值 $f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 近似这一小段上的函数值，也就是 $f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i\rightarrow \int _\widehat{P_{i-1}P_i} f(x,y,z)ds$
$\Delta s_i$ 是第i小段的长度。再对n个小段曲线求和，就是 $\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i \rightarrow \int _L f(x,y,z)ds$
而显然，当每个小段的长度趋向0的时候上式取等号。 $\|T\|$ 表示最长的 $\Delta s_i$ 。那么当最长的小段长度都趋向0了，肯定每一段就都趋向0了，得到我们的定义。

性质

显然对f满足线性性质，对L满足路径可加性。

参数形式

若 $L$ 的方程为 $x = x(t),y=y(t),z=z(t),\alpha \le t \le \beta$ ，且L是光滑曲线（即x、y、z具有连续导数且导数不同时为零）
由弧长的公式，有 $ds = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt$ 简单解释一下：首先ds非常小，可以看作直线段。之后就是，对于自变量t的一小段变化dt，x(t)的变化是 $x(t+dt) - x(t) =\frac{x(t+dt) - x(t)}{dt}dt = x'(t)dt$ 。y、z同理。之后就是一个空间的勾股定理， $ds^2 = x'^2(t)dt^2 + y'^2(t)dt^2 + z'^2(t)dt^2$ ，稍微整理一下得到弧长公式。

此时，将x、y、z、ds使用t的表示带入积分，得到 $\int _L f(x,y,z)ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt$ 特别的，若 $L$ 的方程为 $y = y(x),\alpha \le x \le \beta$ ，则有 $\int _L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f(x,y(x)) \sqrt{1 + y'^2(x)} dx$ 对于极坐标方程 $r = r(t),\alpha \le t \le \beta$ ，有 $\int _L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f(r(t)\cos t,r(t)\sin t) \sqrt{r^2(t) + r ' ^2(t)} dt$

第一型曲面积分

定义

$\iint _\Sigma f(x,y,z)dS = \lim_{\|T\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$ 意思和曲线类似，将曲面分成n个小片， $\Delta S_i$ 表示一个小片的面积。

参数形式

若 $\Sigma$ 的方程为 $x = x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v) \in D$ ，且 $\Sigma$ 是光滑曲面（即x、y、z具有连续偏导数且Jacobi矩阵满秩）有以下公式 $\iint _\Sigma f(x,y,z) dS = \iint _D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{EG-F^2} dudv$ 其中 $E = \vec{r_u}\cdot \vec{r_u}$ ， $F = \vec{r_u}\cdot \vec{r_v}$ , $G = \vec{r_v}\cdot \vec{r_v}$ ， $\vec{r_u} = (\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u})$ ， $\vec{r_v} = (\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})$
特别的，对于 $z = z(x,y)$ ，有 $\iint _\Sigma f(x,y,z)dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right ) ^2 + \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right ) ^2 } dxdy$

球面上的第一型曲面积分

若 $\Sigma$ 为圆心在 $(x_0,y_0,z_0)$ 的半径为 $r$ 的球面，可作变换：
$x = x_0 + r \sin \theta \cos \varphi$ $y = y_0 + r \sin \theta \sin \varphi$ $z = z_0 + r \cos \theta$ $\theta \in [0,\pi],\varphi \in [-\pi,\pi]$ 由此可得
$\iint _\Sigma f(x,y,z)dS = \int _0^\pi d\theta \int_{-\pi}^\pi d\varphi f( x_0 + r \sin \theta \cos \varphi, y_0 + r \sin \theta \sin \varphi, z_0 + r \cos \theta) r^2\sin\theta$ 积分顺序可以互换。