高等数学笔记

1.无穷小替代

高等数学笔记来源网络，侵删

看一个厉害的例题:

高等数学笔记来源网络，侵删

还有一个容易忽略，等价无穷小在什么时候都可以用吗，，，

高等数学笔记

拿题来说事→_→

来源网络，侵删

很容易知道解答1，2，都是错的，但why???

这两种解答看着很高级，其实，就是在扯淡。这就和我们的等价无穷小，有关，等价无穷小替代，是有条件，不能随便乱替的，

一般来说，加法减法不能（特别是分子，如果一用，分子为零，极限就为零了）。

                指数对数复合的函数一般也不行。你记住要是乘除随便用，其他的时候不建议用。

注意：一组强大的结论

来源网络，侵删

来几个考研题爽爽。。。

高等数学笔记

2分钟，2分钟，，完全没问题吧

来源网络，侵删

高等数学笔记

渐近线问题

高等数学笔记 高等数学笔记

注意：

①渐近线有三种情况，但是对于某一个具体的曲线来说，一个曲线可以有无数条铅垂渐近线，但是仅仅最多有两条水平渐近线和两条斜渐近线。

②求渐近线中要用到求极限，这里要特别注意，这里的极限都是单侧极限，如果你只用极限而不注意单侧极限，非常容易计算错误。但是一般来算的时候，都是直接做当x→∞来计算。

③由水平渐近线和斜渐近线是在x→∞的极限，所以在同一侧(都是x→＋∞或都是x→-∞ )的水平渐近线和斜渐近线不能同时存在.求渐近线的实质就是求函数的极限,因此要熟记各种渐近线的定义和求极限的方法.

那我们该如何具体计算渐近线呢，常考的题型，第一就是直接让你写出某类渐近线，这种情况下，你就不用再去判断了，还有一类比较难，就是让你求渐近线的条数，对于这种问法的试题,应该先验证有没有铅直渐近线，也就是看函数有没有间断点且函数在这些点处的极限是不是无穷，因为间断点的个数可能有多个，注意每个间断点都要验证，再验证水平渐近线，注意过程包含正负无穷两种情况，每种情况都要验证，最后验证斜渐近线，这种题容易落下某一条渐近线。

计算步骤：

第一：先找铅垂渐近线，找函数的无定义点和定义区间的端点，即：

来源网络侵删

第二：求水平渐近线，这时候的y1 是一个常数。

高等数学笔记

第三：求斜渐近线。

高等数学笔记

先看一个例题1：

来源网络侵删

答案与解析：

高等数学笔记

例题2：

来源网络侵删

答案与解析：B

对于渐近线问题，我们要分三条路去思考，水平、垂直和斜渐近线；

x趋于正无穷或负无穷的时候，e^{1/x^2}趋于1，arctan的部分趋于pi/4，从而说明有水平渐进线，y=pi/4；

正无穷和负无穷方向是同一条水平渐近线，那么我们也就不需要考虑斜渐进线了；

再来看垂直渐近线，垂直渐近线的本质是寻找无穷间断点。这里可能的点就是x=0,x=1,x=-2;

x=0确实是无穷间断点，但是x=1和x=-2都是y的可去间断点；这里有一条水平，一条垂直渐近线。

例题3：

高等数学笔记

这个题不是什么难题，但也告诉我们一点求极限时，有些极限是要记住的。因为在同一极限过程中，指数＞幂函数＞对数函数。那么这个题，当x→+∞时，明显是0。所以是水平渐近线。

更深有关渐近线的研究，请留言获取。

小结论：

设一个函数为f(x) . 若f'(x¹)=0且 f''(x¹) !＝0.则x¹是此函数的一个极值点。

驻点 极值点 拐点。

高等数学笔记

不定积分的理解

高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记

定积分的定义求极限

来源网络，侵删

数竞真题：

高等数学笔记

---

等价无穷小：

高等数学笔记

判断原函数是否存在，以及是否可积。

第一：这两个概念应该说是在不同的地方提出的，原函数是再讲不定积分时引入的，而是否可积，则是在定积分中引入。

第二：我们要清楚，无论是原函数是否存在或者是否可积，都必须在某个区间上来说，脱离了区间，谈论并没有什么意义。

先看定理：

来源网络，侵删 来源网络，侵删

有关极限是否存在的线性运算结果的讨论，一般有以下结论：

①存在±存在=存在.

②不存在±存在=不存在.

③不存在±不存在的结果不确定.

同样对第二个可以做出推广，第三个不行。

不连续±连续＝不连续

不可导±可导＝不可导

例题：（张宇1000题）

高等数学笔记

解答

高等数学笔记 高等数学笔记

定积分的求法大全

纵观整个数学书，求定积分常用的也就如下几种方法：

凑微法

负代换法

分部积分法

递推法

区间再现法

组合积分法：①参元组合 ②分解组合

对称式

化为部分分式

主要说较难的方法：

第一：负代换

一般来说，在对称区间上我们可以用“奇零偶倍”这个性质来算，但有时不乏会遇到不是奇函数或者偶函数的，那我们怎么弄呢，用负代换

来源于网络，侵删

这样一来，对于定积分的对称区间问题，我们都能解决了，我们来总结一下，

来源于网络，侵删

第二，积分学的灵魂.区间再现

内容的原地址

https://mp.weixin.qq.com/s/-G5weDlZDK7WqwyueghCYw

如有侵权，联系删除。

高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记 高等数学笔记

表格法式的分部积分与微分算子求二阶非齐次线性方程的特解

内容来自网络侵删
内容来自网络侵删 内容来自网络侵删 内容来源网络侵删 内容来源网络侵删 内容来源网络侵删 高等数学笔记