概率（二）

作者: 无敌最俊俏 | 来源:发表于2018-10-11 12:59 被阅读0次

离散随机变量

伯努利分布(Bernoulli)：符合伯努利分布的随机变量只有两个可能的结果： $X(s)\in$ {0(Fail),1(Pass)}。记 $P(X=1)=p, P(X)=0=1-p=q$ 。
二项式分布(Binomial)：进行 $n$ 次结果符合伯努利分布的实验，用 $X$ 表示得到1(Pass)的次数，则 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,\dots,n$ 。
几何分布(Geometry)：进行无数次结果符合伯努利分布的实验，用 $X$ 表示第一次得到1(Pass)前0(Fail)的个数，则 $P(X=k)=q^kp$ 。
泊松分布(Poisson)：某类随机且独立的事件平均在单位时间里出现 $\lambda$ 次，用 $X$ 表示它在单位时间内实际出现的次数，则 $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ 。
当二项式分布的 $n$ 足够大， $p$ 足够小（一般取 $n\ge20,p\le0.05$ ）时，可以将二项式分布近似为泊松分布。

伯努利过程：一个由有限或无限个独立，符合伯努利分布的随机变量所组成的离散时间中的随机过程。
泊松过程：一个由独立随机变量所组成的连续时间中的随机过程。将事件的“发生”记作1，“不发生”记作0，则这些随机变量也可以看作符合伯努利分布。
由伯努利过程和泊松过程的定义可以看出，泊松分布是二项式分布趋近极限时的情况。这也是二项式分布可以近似为泊松分布的原因。当然，在数学上有更好的推导：
$\begin{align} \lim_{n\to\infty,p\to0}\binom{n}{k}p^kq^{n-k}&=\lim_{n\to\infty,p\to0}\frac{n*(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}p^kq^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty,p\to0}\frac{(np)^k}{k!}(1-p)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty,p\to0}\frac{\lambda^k}{k!}(1-p)^{\frac{\lambda}{p}}\frac{1}{(1-p)^k}\\ &=\frac{\lambda^k}{k!}e^\lambda \end{align}$

连续随机变量

均匀分布(Uniform)：
$f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}&x\in[a,b]\\ 0 & o.w \end{matrix} \right.$
指数分布(Exponential)： $f_X(x)=U(x)ke^{-k}$
$k>0$ , $U(x)$ 是阶跃函数。
正态/高斯分布(Normal/Gaussian)：也常被记作 $\mathcal{N}\sim(\mu,\sigma^2)$
$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
计算正态分布的累积分布函数：
a) 转换为标准正态分布： $x'=\frac{x-\mu}{\sigma^2}$
b) 标准正态分布的积分可以通过查表得出。注意：
$\begin{align} \Phi(x_0)&=\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\ Q(x_0)&=1-\Phi(x)=\int_{x_0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} dx \end{align}$
高斯误差函数(error function)：
$\begin{align} \textrm{erf}(x)&:=\int_{-x_0}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2} dx\\ &=\int_{0}^{x_0}\frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\sqrt{2}x)^2}{2}} dx\\ &=2\Phi(\sqrt{2}x)-1 \end{align}$
它的互补误差函数是
$\textrm{erfc}(x)=1-\textrm{erf}(x)$
莱斯分布(Racian)：一种最常见的用于描述接收信号包络统计时变特性的分布类型。
$f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2+A^2}{2\sigma^2}}I_0(\frac{Ax}{\sigma^2})& A\ge 0, x\ge 0\\ 0 & x<0 \end{matrix}\right.$
其中 $A$ 是主信号幅度的峰值， $\sigma^2$ 是多径信号分量的功率 $I_0$ 是修正的0阶第一类贝塞尔函数。当 $A\to0$ 时，退化为瑞利分布。
瑞利分布(Rayleigh)：
$f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}& x\ge 0\\ 0 & x<0 \end{matrix}\right.$

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