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2019-05-11

2019-05-11

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-05-11 20:01 被阅读0次
  • 高斯分布（正态分布）、Q函数、误差函数、互补误差函数
  • 高斯分布
    • 随机变量服从均值为\mu，方差为\sigma^2，其概率密度函数为f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,记为X\sim N(\mu,\sigma^2)
    • 当\mu = 0,\sigma = 1，称为标准正态分布，记为X\sim N(0,1)
      • f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{ 2}}
    • 最大值是x = \mu，f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}
    • 对称轴是x = \mu
    • 一般高斯分布函数为F(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt
    • 标准正态分布函数\theta(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^2}{2}} dt
    • 假如X\sim N(\mu,\sigma^2),则P(x_1<X<x_2) = \theta(\frac{x_2-\mu}{\sigma}) - \theta(\frac{x_1-\mu}{\sigma})
  • Q函数
  • 又称标准正态分布的右尾函数
    • Q(x) = \int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = 1-\theta(x)
  • 误差函数
    • erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt
  • 互补误差函数
    • erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x)
  • 各函数之间的关系
  • Q(x) = 1-\theta(x)
  • Q(x) = \frac{1}{2}erfc(x/\sqrt{2})
  • erfc(x) = 2Q(\sqrt{2})
  • erf(x) = 1-2Q(\sqrt{2})
  • erf(x)+erfc(x) = 1
  • 各函数积分之间的关系
  • 由高斯分析密度函数的总积分为1得
    • \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{ 2}} dx= 1
    • \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{ 2}} dx = \sqrt{2\pi}
    • \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
    • \int_{0}^{\infty}e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

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