Foreword
好记性不如烂笔头。
BezierCurve简介
在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（英语：Bézier curve，亦作“贝塞尔”）是计算机图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝塞尔曲面，其中贝塞尔三角是一种特殊的实例。 —— 维基百科
。本篇只讨论曲线。
构建Bezier曲线
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线性曲线 由两个顶点构成。线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。高阶的曲线全部基于这个线性插值。（Unity中向量的插值计算方法Vector3.Lerp可以完美实现）
线性贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间
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二次曲线 由三个点构成。建构二次贝塞尔曲线，可以使中介点Q0和Q1作为由0至1的t：
- 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
- 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
- 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线的结构
二次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间
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高阶曲线 建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。
- 三次贝塞尔曲线
三次贝塞尔曲线的结构
三次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间
- 四次贝塞尔曲线
四次贝塞尔曲线的结构
四次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间
- 更高阶同理，需要更多的中介点，详细见代码块。
应用与代码
二次贝塞尔曲线
//pointList 为顶点集合。 point1，point2，point3 为构建曲线的三个顶点
//Vector3.Lerp 为 UnityEngine 中的API。通过传入两点和之间的插值（0~1）得到一个新的三维向量
//vertexCount 为构建曲线的顶点数，此数值越大曲线越平滑
public static Vector3[] GetBezierCurveWithThreePoints(Vector3 point_1, Vector3 point_2, Vector3 point_3, int vertexCount)
{
List<Vector3> pointList = new List<Vector3>();
for (float ratio = 0; ratio <= 1; ratio += 1.0f / vertexCount)
{
//首先取前两个点和后两个点的线性插值。
Vector3 tangentLineVertex1 = Vector3.Lerp(point_1, point_2, ratio);
Vector3 tangentLineVertex2 = Vector3.Lerp(point_2, point_3, ratio);
//通过计算两个点的插值得到曲线的顶点
Vector3 bezierPoint = Vector3.Lerp(tangentLineVertex1, tangentLineVertex2, ratio);
pointList.Add(bezierPoint);
}
pointList.Add(point_3);
return pointList.ToArray();
}
二次贝塞尔曲线unity中演示效果
二次贝塞尔曲线演示动画
高阶贝塞尔曲线
//传入顶点集合，得到高阶的贝塞尔曲线，顶点数量不限
//vertexCount 为构建曲线的顶点数，此数值越大曲线越平滑
public static Vector3[] GetBezierCurveWithUnlimitPoints(Vector3[] vertex, int vertexCount)
{
List<Vector3> pointList = new List<Vector3>();
pointList.Clear();
for (float ratio = 0; ratio <= 1; ratio += 1.0f / vertexCount)
{
pointList.Add(UnlimitBezierCurve(vertex, ratio));
}
pointList.Add(vertex[vertex.Length - 1]);
return pointList.ToArray();
}
public static Vector3 UnlimitBezierCurve(Vector3[] vecs, float t)
{
Vector3[] temp = new Vector3[vecs.Length];
for (int i = 0; i < temp.Length; i++)
{
temp[i] = vecs[i];
}
//顶点集合有多长，曲线的每一个点就需要计算多少次。
int n = temp.Length - 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
//依次计算各两个相邻的顶点的插值，并保存，每次计算都会进行降阶。剩余多少阶计算多少次。直到得到最后一条线性曲线。
for (int j = 0; j < n - i; j++)
{
temp[j] = Vector3.Lerp(temp[j], temp[j + 1], t);
}
}
//返回当前比例下曲线的点
return temp[0];
}
高阶贝塞尔曲线unity中演示效果
高阶贝塞尔曲线演示动画
整体脚本代码
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
[ExecuteInEditMode]
public class BezierCurvePointRenderer : MonoBehaviour
{
public Transform point1;
public Transform point2;
public Transform point3;
public LineRenderer lineRenderer;
public int vertexCount;
public Transform[] positions;
private List<Vector3> pointList;
private void Start()
{
pointList = new List<Vector3>();
}
private void Update()
{
//BezierCurveWithThree();
BezierCurveWithUnlimitPoints();
lineRenderer.positionCount = pointList.Count;
lineRenderer.SetPositions(pointList.ToArray());
}
private void BezierCurveWithThree()
{
pointList.Clear();
for (float ratio = 0; ratio <= 1; ratio += 1.0f / vertexCount)
{
Vector3 tangentLineVertex1 = Vector3.Lerp(point1.position, point2.position, ratio);
Vector3 tangentLineVertex2 = Vector3.Lerp(point2.position, point3.position, ratio);
Vector3 bezierPoint = Vector3.Lerp(tangentLineVertex1, tangentLineVertex2, ratio);
pointList.Add(bezierPoint);
}
pointList.Add(point3.position);
}
public void BezierCurveWithUnlimitPoints()
{
pointList.Clear();
for (float ratio = 0; ratio <= 1; ratio += 1.0f / vertexCount)
{
pointList.Add(UnlimitBezierCurve(positions, ratio));
}
pointList.Add(positions[positions.Length - 1].position);
}
public Vector3 UnlimitBezierCurve(Transform[] trans, float t)
{
Vector3[] temp = new Vector3[trans.Length];
for (int i = 0; i < temp.Length; i++)
{
temp[i] = trans[i].position;
}
int n = temp.Length - 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n - i; j++)
{
temp[j] = Vector3.Lerp(temp[j], temp[j + 1], t);
}
}
return temp[0];
}
private void OnDrawGizmos()
{
#region 无限制顶点数
Gizmos.color = Color.green;
for (int i = 0; i < positions.Length - 1; i++)
{
Gizmos.DrawLine(positions[i].position, positions[i + 1].position);
}
Gizmos.color = Color.red;
Vector3[] temp = new Vector3[positions.Length];
for (int i = 0; i < temp.Length; i++)
{
temp[i] = positions[i].position;
}
int n = temp.Length - 1;
for (float ratio = 0.5f / vertexCount; ratio < 1; ratio += 1.0f / vertexCount)
{
for (int i = 0; i < n - 2; i++)
{
Gizmos.DrawLine(Vector3.Lerp(temp[i], temp[i + 1], ratio), Vector3.Lerp(temp[i + 2], temp[i + 3], ratio));
}
}
#endregion
//#region 顶点数为3
//Gizmos.color = Color.green;
//Gizmos.DrawLine(point1.position, point2.position);
//Gizmos.color = Color.green;
//Gizmos.DrawLine(point2.position, point3.position);
//Gizmos.color = Color.red;
//for (float ratio = 0.5f / vertexCount; ratio < 1; ratio += 1.0f / vertexCount)
//{
// Gizmos.DrawLine(Vector3.Lerp(point1.position, point2.position, ratio), Vector3.Lerp(point2.position, point3.position, ratio));
//}
//#endregion
}
}
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