笔记 | 投资学原理与中国市场实践 - 7.1：期货与远期合约定

（一）当同一资产上的远期合约和期货合约有相同期限时，远期价格和期货价格通常非常的接近。
（二）有关远期合约的结论通常都对期货合约也适用。

卖空（shorting）：卖出并不拥有的资产。

假如我可以从证券公司借500股贵州茅台的股票，以当前市场的价格1150元卖出去，过三个月后，茅台的股票价格跌到了1100元，那么我再买500股贵州茅台的股票还给证券公司，此时我的收益便是25000元。相反如果茅台涨到1300元，那么我就亏损了25000元。在借入股票这段时间如果该股票派发股利，那么还要将获得的股利也一并还给证券公司。

假设：
（1）市场参与者交易时无手续费或者手续费低到可以忽略的程度；
（2）市场参与者的所有净交易利润使用同一税率；
（3）市场参与者能够以相同的无风险利率借入和借出资金；
（4）当套利机会出现时，市场参与者会马上地利用这些机会取得套利；

符号：
（1）T表示为远期和期货合约的期限，以年为单位；
（2）S₀表示为远期或者期货合约的标的资产的当前价格；
（3）F₀为远期或者期货的当前价格；
（4）r为以连续复利计算的零息债券无风险利率，这一利率的期限对应于于期货合约的交割日。无风险利率r是指在无信用风险的前提下，借入和借出资金的利率；

1. 标的资产不提供任何中间收入

假设有一个购买一股无套利股票的远期合约，期限T为三个月后到期，当前股价S₀为40元。三个月期的年化无风险利率r为5%。

先假设当期远期价格F₀相对较高，为43元。此时存在一个套利策略，套利者可以以每年5%的无风险率远先借入40元购买一股的股票，然后承约三个月的远期合约的空头。三个月后，通过远期合约交割一股股票获得43元。同时需要支付利息，按复利计算，连本带息为40.5元。所以三个月后套利者获得了43减去40.5等于2.5元的收益，并且完全不需要付出任何的成本，也不用承担任何风险。当套利者这么做时，期货的价格F₀会下降，S₀会上升。

再考虑远期价格相对较低的情况，为39元。这时套利者可以卖空一股的股票，并把得到的资金以每年5%的利率进行三个月的无风险投资，同时承约一个三个月的远期合约的多头。三个月后，卖空股票得到了资金增加到40.5元，同时要履行这个远期合约，支付39元得到交割的股票，并且将股票归还进行平仓。所以三个月后的净收益为40.5元减去39元等于1.5元。

因此，远期价格大于或者小于40.5元的都存在着套利的机会，只有当远期价格等于40.5元才不会存在套利机会。

将结果进行推广：当考虑一个资产的远期价格时，资产当前价格为S₀，并且在持有期内不提供任何的中间收入，在不存在套利机会时（无套利定价），F₀ = S₀e^rT，这就是资产价格与远期价格的关系，或者说当期价格标的物当期价格与未来价格的关系。

2. 标的资产中间会产生一些收入

接下来考虑一下有些期货的标的物可能中间会产生一些收入，比如支付股利的股票和附息债券。

假设有一个已购买附息债券的远期合约，债券限价为900元，期限为9个月，在4个月后债券会付40元的债券利息。4个月和9个月的年化无风险利率分别为3%和4%。

首先假设远期价格高的情况，为910元。套利者现在可以借入900元去购买债券，并且承约远期合约的空头，然后套利者会在4个月后得到40元的利息，可以用这40元先偿还部分借款。该债券利息现在的价值按4个月的无风险利率3%贴现，现值为39.6元。因此套利者当期还需要偿还借款者900-39.60=860.40元。9个月后，这笔资金的未来价值按无风险利率4%复利计算为886.6元。9个月后套利者执行远期合约，以910元卖出债券，得到的收益为910-886.60=23.40元，这是9个月后的收益，但是这个收益今天就已经锁定了。那么套利者获得收益为910-886.60=23.40元。也就是说910元的远期合约的价格是不合理的，存在着套利机会。

考虑另外一种情形，远期价格较低，为870元。那么套利者可以卖空债券获得900元现金，并且承约远期合约的多头。套利者先把39.60元进行4个月年化利率3%的无风险投资，用于偿还债券的利息。剩余的860.40元进行9个月年化利率4%的无风险投资，9个月后这笔资金变成了886.70元。九个月后套利者再执行之前远期合约，以870元买入债券用于归还，此时的收益为886.70-870=16.70元。所以在这种情况下还是存在套利机会。

将结果进行推广：当我们考虑一个资产的远期价格时，若该资产在合约期内也会产生一些现金流，会提供一些贴现，若该资产在合约内提供收入的贴现值为I，则F₀ = (S₀ - I)e^rT，两边不等便会出现套利机会。

3. 标的资产会为持有者提供已知收益率的收入

考虑另一种情况，一个远期合约标的资产会为持有者提供已知收益率的收入。

这意味着这个收入的总额可以表达为收入支付时刻的资产价格的百分比。比如说，某资产提供每年5%的收益率，指的是每年提供一次中间收入总额为当时资产价格的5%，这个收益率5%是按年复利计算的。如果这个收入是一年支付两次，每次支付当时资产价格的2%，在计算价格时，需要先将收益率换算成为连续复利形式的年化收益率3.96。将它定义为q，并结合之前的关系式，这类资产的远期合约的价格和当期价格关系为F₀ = S₀e^(r-q)T。

4. 评估远期合约本身的价值

如何评估一份远期合约本身的价值？

一份刚刚签署的远期合约的价值为零，之后它的价值会随着时间的推移变化。

假设K是过去签署的远期合约的交割价格，该合约交割日期是从今日起七年以后，r是期限为七年的无风险利率，F₀是该远期合约今天的价格，也就是如果今天签订的合约交割价格，f为远期合约在今天的价值。

如果今天是合约的日期，那么K=F₀，合约价值f=0。随着时间的推移，K不会变化，但是合约的F₀会随时间变动，所以合约的价值f也会变化。

由此可以得到多头方的合约价值的表达式f=(F₀-K)e^-rT，可以理解为通过以前签署的远期合约以价格K买到某种资产，如果我现在签署同一个标的资产的远期合约则是以价格F₀买到这个资产，那么F₀-K，相比现在的远期合约，以前的远期合约为我们带来了价值，也就是之前你买便宜了，现在这个东西价格涨了，就像一套房子，之前买的时候100万，现在涨到150万，,那么这50万就是收益。然而这些都是未来的价格，所以还要算贴，也就是这五十万在今天值多少钱？也就是乘以e^-rT。

与之类似，空头方的远期合约的价值则表示为f=(K-F₀)e^-rT。要注意不管是多头方，还是空头方，这样的一个期货合约有可能获益，也有可能遭受损失。

结合之前的远期合约与当期价格关系，可以得出三个远期合约价值的表达式。以多头方为例：

• 远期合约的标的资产，没有中间收入的关系式为：f = S₀ - Ke^-rT
• 远期合约的标的资产，提供贴现现值为I的中间收入：f = S₀ - I - Ke^-rT
• 远期合约的标的资产，提供q的收益率：f = S₀e^-qT - Ke^-rT

5. 股指期货的价格

根据股票的性质，通常可以将股票指数看成支付股利的投资资产。投资资产就是构成指数的股票组合。股利等于该资产提供的收入，通常我们假定股利为已知的收益率，如果q为股利收益率。那么股指期货的价格关系式为F₀ = S₀e^(r-q)T。其中r-q可以理解为股指期货的价格随时间增长的增长速度。

6. 外汇期货的价格

再来讨论常见的外汇期货。从美国投资者的角度来考虑外汇远期和期货合约。

定义变量S₀为一单位外币的美元价格。F₀为一单位外币的美元远期或期货价格。

外币具有以下的性质：外币持有人可以收取该外币发行国的无风险利率。例如，外币持有人可以将货币投资于以外币计价的债券。定义r_f对应于期限T的外币无风险利率。变量r为对应于同样期限的美元无风险利率。那么外汇期货价格关系式为：F₀ = S₀e^(r-r_f)T。

7. 商品期货的价格

接下来考虑商品期货合约。首先要区分投资资产和消费资产。投资资产是投资者仅为了进行投资而持有的资产，比如股票，黄金等。而消费资产主要是为了消费而持有的资产，比如说石油，猪肉等。

黄金持有者因为要储存黄金，会产生储存费用，有些情况下出借黄金也会收取相应费用，所以黄金会给持有者带来中间收入。在没有储存费用和中间收入时，投资资产的远期价格可以表示为F₀ = S₀e^rT。而在有存储费用时，存储费用可以被视为负收入。假定U为期货期限直接所有去掉收入后储存费用的贴现值。那么投资资产的远期价格可以表示为F₀ = (S₀+U)e^rT。如果每个时刻的储存费用都与商品价格成比例，这时的费用也可以看成是一个连续的负收益。那远期价格就能表示为F₀ = S₀e^(r+u)T，其中小写的u表示除去资产所赚取的所有收益后的储存费用占即期价格的比例。

对于消费商品，往往是不提供中间收入的，这类商品可能存在很高的储存费用。当商品期货存在套利机会时，比如如果远期价格F₀小于以复利计算T期后当期资产价格S₀，加上存储费用U的总额的未来价值。那么套利者可以卖出商品，节省储存费用，并将所得到的资金投资于无风险资产上获得无风险收益，并且承约远期合约的多头。但由于有些套利者持有商品的主要目的不是投资，而是消费，套利者需要持有商品进行消费，便不一定会执行套利策略，这种情况下的远期价格与当期资产价格的关系依然是成立的。所以有F₀ ≤ (S₀+U)e^rT。若将存储费用表示成即期价格的比例表示为u，那么F₀ ≤ S₀e^(r+u)T。