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一元函数微分学（高等数学竞赛2）

一元函数微分学（高等数学竞赛2）

作者: 景知育德 | 来源:发表于2021-06-20 14:12 被阅读0次

一、导数与微分的概念

在某一点的导数：

y=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

可导、可微、连续的关系：

可导\Leftrightarrow 可微\Rightarrow 连续

二、特殊的导数

参数方程y=y(t),\ x=x(t)的导数：
\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}y / {\rm d}t}{{\rm d}x / {\rm d}t}

变积分上限的导数：

(\int_{0}^{g(x)} f(t){\rm d}t)’=f(x)g’(x)

三、高阶导数

Leibniz公式

(f(n)\cdot g(n))^{(n)}=\sum {\rm C}^i_n f^{(n)}(x)\cdot g^{(n-i)}(x)

四、Taylor展开式

略

五、中值定理

Rolle中值定理

如果\mathbb{R}上的函数f(x)满足以下条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在开区间(a,b)上可导

（3）f(a)=f(b)

那么，至少存在一个\xi \in (a,b)，使得f’(\xi)=0.

Lagrange中值定理

如果\mathbb{R}上的函数f(x)满足以下条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在开区间(a,b)上可导

那么，至少存在一个\xi \in (a,b)，使得f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a).

Cauchy中值定理

如果\mathbb{R}上的函数f(x), g(x)满足以下条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在开区间(a,b)上可导

那么，对于\forall x\in (a,b), g’(x)\neq 0，至少存在一个\xi \in (a,b)，使得

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