算法（时间复杂度）

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• 算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：
  时间复杂度：评估执行程序所需的时间。可以估算出程序对处理器的使用程度。
  空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。可以估算出程序对计算机内存的使用程度

时间复杂度

前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

大O表示法

像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²等，因此我们可以将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？我们接着来看推导大O阶的方法。

推导大O阶

推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法：

• 1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。
• 2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

线性阶

线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

对数阶

接着看如下代码：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

平方阶

下面的代码是循环嵌套：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ... 
      }
  }

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。

接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;i++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ... 
      }
  }

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。

常见排序算法时间复杂度

n^2表示n的平方,选择排序有时叫做直接选择排序或简单选择排序

排序方法	平均时间	最好时间	最坏时间
桶排序(不稳定)	O(n)	O(n)	O(n)
基数排序(稳定)	O(n)	O(n)	O(n)
归并排序(稳定)	O(nlogn)	O(nlogn) O(nlogn)
快速排序(不稳定)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n^2)
堆排序(不稳定)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)
希尔排序(不稳定)	O(n^1.25)
冒泡排序(稳定)	O(n^2)	O(n)	O(n^2)
选择排序(不稳定)	O(n^2)	O(n^2)	O(n^2)
直接插入排序(稳定)	O(n^2)	O(n)	O(n^2)

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