拈游戏

描述
有一堆n个棋子，两个玩家轮流从堆中拿走至少一个至多m个棋子，
每次拿的棋子数都可以不同，如果每个玩家都做出了最佳选择，哪个玩家能够顺利拿走最后一个棋子？

解析

这种游戏的原型实例是拈游戏中的单堆棋子版本。现在假设游戏已经进行了一会，双方都能做出最佳选择，现在轮到你
情况：
1. 如果n=0,也就是你已经没法走了，输
2. 如果n=1~m，你可以拿走剩下全部棋子，下一步对方的情况是1，赢
3. 如果n=m+1，都会把对方推向情况2，输
4. 如果n=m+2 ~ 2m+1(即m+1+m)，拿走(1~m)个，将对方推向情况3,赢
5. 如果n=2(m+1)=2m+2,拿走任意个，将对方推向情况4，输

结果

• 当n%(m+1)==0，结局必定为输
• 当n%(m+1)!=0,获胜

获胜的策略是取走n%(m+1)个棋子。

实例

假设n=9，m=3。己方先手，按照上面得到的结论推导n%(m+1)!=0，所以己方获胜。

1. 9%(3+1)=1，取走1个

1

2. 假设对方拿走3个(为方便)

2

3. 5%4=1，取走1个

3

4. 这次取走1个(随意)

4

5. 3%4=3,全部取走，获胜

5

总结

所以根据初始n和m算出可以获胜，只要按照确定的公式取走棋子，无论对方如何取都能确保获胜。

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拓展

对于一般性的拈游戏，即有多堆棋子，有一种令人称奇的解法：

基于队中棋子的二进制表示，b1/b2/b3/b4.....为各堆中棋子个数的二进制表示。当且仅当所有二进制异或和中包含至少一个1时，该实例为胜局，当且仅当所有二进制异或和中不包含1时，该实例为输局。（异或和也可以看作没有进位的加法）
如n1=4,n2=5,n3=6

4，5，6的二进制异或和

要使对方输，就要使异或和所有位数都为0，这里无法实现。