如果守株待"兔"过拟合了，那可以"待"什么？

这是一篇严谨的技术文章。

宋人有耕田者。田中有株，兔走触株，折颈而死。因释其耒而守株，冀复得兔。兔不可复得，而身为宋国笑。今欲以先王之政，治当世之民，皆守株之类也。 ——出自《韩非子·五蠹》

守株待兔的原文，我抄来的。标题中的“过拟合”我理解为：用以获取知识的样本与知识本身联系过于紧密，且该样本不足以代表将来解决问题时所面对的数据整体特征，导致这些知识或经验在应用时不够有效。

这篇文章起源于对某次对数据粗心错误地解读。可简单比喻为以下三个问题：

1.一个袋子内有一堆球，颜色只可能是红色和白色两种，如果第一次取出一个球是红球，。那么是否可以认为红球比白球多这件事儿的可能性更大？即第二次取出的球更可能是红球的概率大？

2.守株待兔错在哪里？如果待“兔子”不符合道理，那么待什么符合道理？

3.待会儿再说。。。

第一个问题先说我的答案：红球比白球多的可能性大，即第二个球更可能是红球的概率大。面对这个问题，可能第一反应是：卧槽，你是以为我初中没好好学习吗？随机变量，两次独立事件，互不影响。就像抛一枚均匀硬币，你就是前1000次都恰巧正面朝上，也不影响第1001次正面朝上的概率是二分之一啊。。。

but！这其实不是一回事儿。另外谁说这是均匀的硬币了？就像谁告诉你红球白球数量关系了？第一个红球的存在，至少排除了全是白球的可能，但保留了全是红球的可能。

证明过程（可直接跳到结论）：

若想知道第二个球更可能是红球的概率大小，就要计算出在第一个样本发生情况下的两个后验概率(也是条件概率）：即 p(红>白 | 第一个为红球)  和 p(白>红 | 第一个为红球)谁大。其中p(红>白)意思是原袋中红球数量大于白球数量的概率。

现有样本数量很少。。得可怜，就一个。根据贝叶斯公式：p(E|F) = p(F|E)*p(E)  / p(F)可知：

两个等式右边分母相同，比较分子，其中对两个先验概率p(红>白)、p(白>红)的大小一无所知，即认为所有情况都可能发生，默认二者发生概率相等，是一个常数。而 p(第一个为红球|红>白)  肯定大于 p(第一个为红球|白>红)，所以第一个概率大于第二个概率，即p(红>白|第一个为红球) > p(白>红|第一个为红球)，这其实是一个样本的极大似然估计。

结论：取出一个红球后，原袋中p(红>白) > 1/2，如果球的数量很多，不考虑第一个对整体的影响，近似认为P( P(第二是红球) > 1/2 ) > 1/2 ，这是概率的概率。有一个地方没有想得太顺畅：

如果这是一场赌博的话，根据这个结论，看来我们要押注红球了，因为感觉上总是比押注白球好一些。好一些的意思是，“获胜的机会”大一些？获胜的机会大却不能推导出获胜的概率一定大 ：P(第二是红球) > 1/2，否则就结论不吻合了。想多了掉头发，关于这个问题，有兴趣一起交流一下。

说这么多，意思是即便是一个样本，也是有意义的。那么守株待兔错在了哪里？

错在作为宋国人，你知道的太多了。。尤其是关于兔子的常识。已经有那么多跟兔子打交道的经历了，还在用刚刚发生的单一样本生成模型，就很可能过拟合了。说“很可能”而不是“一定”是因为这个样本太新了，也许从那一刻开始，全世界的兔子突然喜欢上撞树了。不过在几千年后的我们看来，这没发生。对于当年的农夫来说，这是一场豪赌，扯远了。

那么有没有一种动物（或一种场合），可以守株而“待”之呢？遍寻古籍，我终于找到一种动物，撞树之后，在树下等它未必没有道理，它就是——年兽！因为对“年兽”了解的太少了，对它喜欢做什么几乎没有任何了解。它撞树是事实，那么它闲的没事儿喜欢撞树这个最可能导致“撞树”的原因就最有可能是事实。“某年月日，一兽触株，或谓之曰年，于是，耕田者释其耒而守株。。。复得年”。

其实生活中很多情况都在有意无意的利用一个样本做估计。比如某个周三下午，你经过某个街角的cafe，与一个人擦肩而过。那一瞬间你似乎听到了上天的耳语，感受到了永恒的存在。可是在来得及反应之前，就已无影无踪。于是你“寤寐思服，辗转反侧”，然后在下次路过那个街角时，下意识的张望。。。

当当当当，一个样本的作用！！！

问题3：除了那个街角，你还能去哪呢？天安门广场？还是东方明珠塔？于是你唱完《You're beautiful》开始唱《Right here waiting》。。。你这次吃鸡的房子，还是你下次吃鸡的地方吗？

结语：虽然一个样本也是有意义的，但是要说它的效果嘛，你看看身边多少单身的程序员就知道了。

如果守株待"兔"过拟合了，那可以"待"什么？