光滑投射哈希函数

Recall the notion of smooth projective hash function:

由Cramer和Shoup引进
对于语言L，允许hash其中的word x，以两种不同的方式：
with some secret key（hashing key， hk）
with associated pk（投射key，hp）
满足两条性质

如果x是语言中的词，那么两种hash方式将会返回相同的hash值
如果x不是语言里的词，给了hp，由第一种方式得到的hash值和随机从hash值域里取的值统计不可区分

Intuitively, this can be used as kind of designated-verifier zero-knowledge proof (although it does not satisfy the classical zero-knowledge property) to 证明词x在语言中：
prover收到投射钥hp来自验证者，prover用hp去hash这个词，把结果发回给verifier，verifier比对由secret key hash来的值，接受这个证明，如果两个hash值是一样的。

这里给出一个associated CPA安全的加密方案：
D：可以高效识别的消息空间
固定一组（pk，sk）
C：关于pk的有效密文集合，在仅有pk的情形下可以被高效识别
定义语言的背景集合，（密文，消息），密文来自C，消息来自D
所有配套的（密文，消息）对构成了语言L

一族光滑投射函数是，把语言 onto 到长为l的01串，有如下四个算法构成
算法1：为语言L生成some secret key，hk
算法2：将hk和语言中的一个词(c,m)作为输入，生成投射钥hp
算法3：用hk去hash词(c,m)
算法4：用hp去hash词(c,m), 附带输入witness w of the fact (c,m) in L

光滑投射函数应该满足两个性质：

正确性：如果词在语言中，且w确实是相应的一个witness，那么正常算的hash值，和投射算的hash值，二者应该相等
光滑性：定义了族的安全性，如果不是语言中的词(c,m)，也拿到hp, 那么还是不可和从hash值域里随机挑的值统计上区分

一次签名方案

限制只能问一次签名机，伪造valid签名的优势可忽略

带标签的CCA2加密方案

malleability: 可塑性，一个加密算法是可塑的，给出m的加密c，m敌手是不知道的，敌手可以改造c得到cc，使得cc的解密是f(m)，这里f()敌手知道怎么算。
可塑性是一个undesirable property，可塑性并不是指攻击者读懂密文的能力，在篡改密文的前后，攻击者都cannot read encrypted message.

加密：消息m，随机串r，标签l
解密：密文c，标签l
比之前的多一个分量的参数
标准的攻击实验modified为
原来可以选一对m0,m1,现在还要再多选一个标签
其他的能力还是一样，有解密机，但是不能问(挑战密文，所选l)这条的解密.

proposed protocol

building blocks

CPA安全加密方案
带标签的CCA2安全加密方案
一次签名方案
光滑投射哈希函数

假设群组里的一个client想要向服务器匿名地认证他自己，并和服务器建立会话密钥.
client i将他的编号i和口令i绑定，利用一个抗碰撞的哈希函数，pw_i=hash(i,pwd_i).
client i以及可信的服务器拿到哈希后的口令集

client i随机均匀地pick一个k bit串，将他的哈希后口令用CPA加密算法给加密了，然后他将①群组名单，②哈希后口令列表，以及③哈希后口令的加密密文c=Enc_pk(pw_i;r)发送给服务器
upon receiving the message，服务器先独立地选择n个hk，下面生成投射key。review生成投射🔑的算法，

算法2：将hk和语言中的一个词(c,m)作为输入，生成投射钥hp
这里的词是(c,pw_i), 从1到n，把每个投射🔑算出来，
hp_j算法3：用hk去hash词(c,m)
对于第j个词, 用第j个hash key去哈希它，得到一个长为3k的01串，分为tk: kbit和tp: 2kbit两个部分。δ_j=tp1 xor tp_j.
服务器set hp=（hp1,...,hpn,δ2,...,δn), 然后tp1分为两个部分
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服务器生成一次签名的VK,SK, 令标签是S||c||hp||VK
使用标签加密，密文是第j个哈希后口令，随机串是第j个哈希口令的hash值的前k个bit，由此得到CCA2密文列表，对此进行签名，服务器将投射列表，VK，CCA2密文列表以及签名发给client