什么是MiniZinc?
MiniZinc是对约束优化模型进行建模的一种语言。
它本身只是一种对模型的描述,而后续的求解则依赖于求解器来进行。根据要求解问题的类型不同,它可以调用不同种类的求解器,例如Constraint Programming (CP) / Mixed Integer Programming / Satisfiability(SAT) Solver,来对问题进行求解。更具体的,MiniZinc兼容的求解器有:Chuffed,CBC,findMUS,Gecode,CPLEX等。
当然,除了MiniZinc,我们也可以使用OPL、LINGO、AMPL等语言对模型进行表达,可以根据个人需要进行选择。对于我来说,MiniZinc对约束的表达非常贴近我们的逻辑,同时还有谓词(predicate)、全局约束(Global Constraint)等强大的辅助功能,能帮助我们快速建立高效模型。
MiniZinc在Linux,Macos和Windows下都可以使用,在不同系统下的安装方式可以参考这里。
从一个简单实例开始
下面我们可以从一个简单的背包问题(Knapsack Problem)看一下MiniZinc模型最基本的组成。
如下图所示的一个背包问题,我们有一个最大负重为15kg的背包,以及5个重量与价值各不相同的物品,我们需要得到一个最优的组合,使得背包里装的东西在不超重的同时,有尽可能大的价值。
1_1 Knapsack.png对应这个问题的MiniZinc程序如下:
% 背包问题的模型
%--------------------------
% 数据部分
enum ITEMS = {Item1, Item2, Item3, Item4, Item5}; % 枚举类型,标记物品ID
array[ITEMS] of int: weight = [12, 2, 1, 4, 1]; % 数组,每个物品的重量
array[ITEMS] of int: value = [4, 2, 1, 10, 2]; % 数组,每个物品的价值
int: MAX_WT = 15; % 背包能容纳的最大重量
%--------------------------
% 决策变量
var set of ITEMS: knapsack;
%--------------------------
% 约束: 物品总重量不能超过背包最大重量限制
var int: total_wt = sum(it in knapsack)(weight[it]);
constraint total_wt <= MAX_WT;
%--------------------------
% 目标函数:最大化背包内物品的总价值
var int: total_val = sum(it in knapsack)(value[it]);
solve maximize total_val;
%--------------------------
% 结果输出
output ["Picked Items: \(knapsack)\nTotal weight: \(total_wt)\nTotal value: \(total_val)\n"];
可以用MiniZinc IDE求解,也可以在command line中调用minizinc
来进行求解。得到的结果如下:
Picked Items: {Item2, Item3, Item4, Item5}
Total weight: 8
Total value: 15
----------
==========
也就是要我们选择第2、3、4、5件物品,总共的重量为8,总价值15。
模型的组成部分
下面我们来逐行进行解释,看一下MiniZinc中模型的组成。MiniZinc的语言组成和C/C++有些相似,在每条语句的最后需要以;
标示语句的结束。
注释
在程序的第一行我们看到了%
符号,它表示本行的后面部分都是注释,在模型编译求解时不作处理。
需要注意的是,MiniZinc中没有多行注释,并不能像C/C++中一样,用/* */
来注释多行。
参数和变量
我们继续看下面一部分的程序:
%--------------------------
% 数据部分
enum ITEMS = {Item1, Item2, Item3, Item4, Item5}; % 枚举类型,标记物品ID
array[ITEMS] of int: weight = [12, 2, 1, 4, 1]; % 数组,每个物品的重量
array[ITEMS] of int: value = [4, 2, 1, 10, 2]; % 数组,每个物品的价值
int: MAX_WT = 15; % 背包能容纳的最大重量
%--------------------------
% 决策变量
var set of ITEMS: knapsack;
和C/C++中类似的,MiniZinc中在命名一个变量时也需要给出变量的类型。
第3行的enum
指定了一个枚举类型,它给出了一个命名的取值空间,也就是一个具有有限个对象的集合。
第4行的array[idx]
给出了向量类型,[idx]
给出了向量的下标,
第6行的int
表示为参数MAX_WT指定整数类型,并且为它赋值为15。
第10行给出了当前模型的决策变量,不同于一边变量,对于决策变量我们无法预先为它赋值,只有等到求解之后我们才能知道它可以取什么值。但是通常对于决策变量,我们需要给定其值域(domain)来帮助求解器进行搜索,在这个问题里,我们给出的domain是set of ITEMS
也就是ITEMS
中任意选取的一个集合。
在MiniZinc中,基本的数据类型有6种:整数(int),浮点数(float),布尔类型(bool),字符串(string),向量(array)和集合(set)。
参数用关键词par
标识,但是如果给出了数据类型,那么par
可以省略,也就是说par int: k
和int: k
是等价的。
变量用关键词var
标识,我们上面第10行的语句var set of ITEMS: knapsack;
生成了一个名字为knapsack的变量,其类型为set of ITEMS
,也就是ITEMS的一个集合。
参数和变量的声明和赋值可以放在一起,也可以分开,例如var int: x = y + 10;
和var int: x; x = y + 10;
是等价的。注意在MiniZinc中,对每个参数/变量只能赋值一次,多次赋值会引起错误。
此外在MiniZinc中,变量名称可以由大小写字母和下划线组合而成,其他字符和miniZinc的保留关键字、操作符不能作为变量名。
约束
%--------------------------
% 约束: 物品总重量不能超过背包最大重量限制
var int: total_wt = sum(it in knapsack)(weight[it]);
constraint total_wt <= MAX_WT;
约束用constraint
关键词标识。约束中给定的是一系列的布尔类型表达式(Boolean expression),来对模型中变量的取值进行限制。
MiniZinc支持的关系操作符有:
- 等于:
=
或者==
- 不等:
!=
- 小于和小于等于:
<
和<=
- 大于和大于等于:
>
和>=
当然MiniZinc也支持一系列的逻辑关系,例如蕴含(->
)、合取(/\
)、析取(\/
)等,后面我们再进行详细讲解。
另外需要注意的是,MiniZinc中并不支持连续不等式,所以0<=a<=2
是不合法的,而应该写成0<=a /\ a<=2
。
目标函数
%--------------------------
% 目标函数:最大化背包内物品的总价值
var int: total_val = sum(it in knapsack)(value[it]);
solve maximize total_val;
在目标函数的部分,我们需要给出一个求解的目标。
通常需要求解的有三种情况:
- 最大化某个目标值:用语句
solve maximize <obj_expr>
来表示对表达式<obj_expr>
求最大值。 - 最小化某个目标值:用语句
solve minimize <obj_expr>
来表示对表达式<obj_expr>
求最小值。 - 求解满足约束的情况:用语句
solve satisfy
来表示求满足约束的解,此时我们没有目标函数。
结果输出
%--------------------------
% 结果输出
output ["Picked Items: \(knapsack)\nTotal weight: \(total_wt)\nTotal value: \(total_val)\n"];
output [<string_expr>]
可以用来输出一个字符串。\
和C/C++中一样是转义符,用\(<variable>)
可以输出变量,\n
和\t
分别代表换行符和制表符。
此外我们还可以对输出进行更精确的控制,show(<variable>)
和\(<variable>)
可以输出变量的值,而show_int(n, <varibale>)
则表示用个字符输出整数<variable>
,如果,那么会向右对齐,反之则向左对齐。show_float(n, d, <variable>)
表示用个字符输出浮点数<variable>
,表示小数点之后保留的位数。
对于长字符串,可以用++
进行字符串拼接,例如"This is a string"
等同于"This is " ++ "a string"
。
在一个模型中,最多只能有一个输出语句。
在不指定输出语句的情况下,MiniZinc会输出所有有声明,但是没有被表达式赋值的变量。因此有些情况下我们也可以利用这个特性,偷个懒不用明确给出输出语句。
解的解读
在我们得到的解中:
----------
表示上面给出的解是问题的一个可行解。
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表示上面的解是最优解。
默认情况下,minizinc在求解优化问题时只会输出最优解。如果加上参数-a
,则表示输出所有可行解。如果使用IDE,可以在configuration editor中进行设置。
例如对于我们的例子:
minizinc 1_1_KnapsackProb.mzn
对应的结果为:
Picked Items: {Item2, Item3, Item4, Item5}
Total weight: 8
Total value: 15
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而
minizinc 1_1_KnapsackProb.mzn -a
对应的结果为:
Picked Items: {Item1, Item2, Item3}
Total weight: 15
Total value: 7
----------
Picked Items: {Item1, Item2, Item5}
Total weight: 15
Total value: 8
----------
Picked Items: {Item2, Item3, Item4, Item5}
Total weight: 8
Total value: 15
----------
==========
可以看到上面两个解是可行解,但并非最优解。
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