一、不使用Batch Normalization

• 对某层的前向传播过程有：
  
• 针对该层的反向传播过程为：
  
• 连续多层的梯度反向传播过程为：
  

在梯度的连续反向传播过程中，是通过权重的连乘进行的。如果权重总是较小，则在反向过程中，梯度呈指数级衰减，就出现了梯度消失的问题；反之，则相应的就会出现梯度爆炸的问题。

结论：在反向传播过程中，权值的大小会极大的影响梯度的有效传播。因此，有必要在一定程度上限制甚至消除权值对梯度反向传播的不良影响。

二、使用Batch Normalization

• 带有BN的前向传播如下所示：
  
  
• 则其反向传播有：
  
• 相应的，连续多层的梯度反向传播过程为：
  

与不使用BN相比，每层的反向传播过程增加了一个基于标准差的矩阵对权重进行缩放。

这样的缩放能够产生什么效果？如果权重较小，那必然较小，从而使得其标准差较小，相对的较大，所以相对于原本的就放大了，避免了梯度的衰减；同样的，如果权重较大，可以很容易得到缩小，避免了梯度的膨胀。

加入了BN的反向传播过程中，不易出现梯度消失或梯度爆炸，梯度将始终保持在一个合理的范围内。好处：基于梯度的训练过程可以更加有效的进行，即加快收敛速度，减轻梯度消失或爆炸导致的无法训练的问题。

三、加入BN后的反向传播与权重尺度无关

四、关于Batch Normalization

• gamma与beta
  正如文章中所说，使用gamma和beta是为了通过 "scale and shift" 操作来保证整个网络的capacity，毕竟，一直将feature限制在均值为0方差为1的分布下，明显是不那么明智的。尤其是在使用ReLU激活函时，将其输入限制在均值为0，相当于强制让其输出中总有一半为0，想想都觉得荒谬。
• Batch Normalization的具体操作
  首先，一般性的，我们可以先假设输入数据的维度为 (N, C, D)，其中D在MLP中就是1，在2D CNN中就是(H, W)。而BN之所以称之为batch，就是因为normalization只沿batchsize维度进行，即N维。具体而言，就是针对每一个channel（也可以认为是对每一个神经元的输出），对batchsize求均值方差，对MLP而言，均值方差的求解是显而易见的；对2D CNN而言，就是将该channel对应的batchsize个维度为(H, W)的tensor求解出一对均值方差，对这batchsize个(H, W)的tensor，其每一个pixel value减去该均值并除以该方差。总而言之，就是normalization只在batch维进行，相应的gamma和beta也都是长度为channel_num的向量。

参考资料

深度学习中 Batch Normalization为什么效果好？