2017-11-06

  例如，公式1）的证明：i）当n＝1时，左边＝右边＝1成立；

                                                ii）假如n＝K时，1＋2＋3＋⋯＋k＝1/2·k（k＋1）成立；

                                                iii）n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋⋯＋k＋（k＋1）＝1/2·k（k＋1）＋（k＋1）

                                                                                            ＝1/2·（k＋1）·（k＋2）＝右边

    所以对于所有的自然数n公式1）成立，证毕。但人们是怎样得出这样的求和公式的呢？这需要用数学的方法，对于公式1）可用等差数列的性质：an＋a1＝an-1＋a2＝an-2＋a3得出

即2·（1＋2＋3＋⋯＋n）＝n（n＋1），所以1＋2＋3＋⋯＋n＝1/2·n（n＋1）