TF2-03求导

作者: 杨强AT南京 | 来源:发表于2020-02-21 18:02 被阅读0次

API说明

Graph模式使用的是gradients函数：

    tf.gradients(
        ys,
        xs,
        grad_ys=None,
        name='gradients',
        gate_gradients=False,
        aggregation_method=None,
        stop_gradients=None,
        unconnected_gradients=tf.UnconnectedGradients.NONE
    )

该函数还有一个相关函数，用来终止梯度计算。
- 该函数返回的Tensor不会作为求导使用。

    tf.stop_gradient(
        input,
        name=None
    )

Eager模式使用的是GradientTape类
- 提供with上下文模式。
- 提供如下几个函数完成梯度计算
  1. gradient
  2. watch
  3. reset
  4. stop_recording：创建自己的上下文环境。在这个环境中的操作不被跟踪。
  5. jacobian

构造器定义如下：


    __init__(
        persistent=False,
        watch_accessed_variables=True
    )

自动求导使用例子

Graph模式使用例子

import tensorflow  as tf

一阶简单导数

$y = x ^ 2$

import tensorflow  as tf
g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(1.0)
    y = x * x
    grad = tf.gradients(y, x)

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[2.0]

多元求导

$z = x ^2 + y ^3$

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(1.0)
    y = tf.constant(2.0)
    z = x ** 2 + y ** 3
    grad = tf.gradients(z, [x, y])

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[2.0, 12.0]

聚合求导

$y_1 = x ^ 2$
$y_2 = x ^ 3$
$\dfrac{\partial (y_1 + y_2)}{\partial x} = \dfrac{\partial y_1}{\partial x} + \dfrac{\partial y_2}{\partial x}$

# 如果ys是列表，则计算导数和， 如果xs是列表，与上面一样，作为求导变量
g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y_1 = x * x
    y_2 = x ** 3
    grad = tf.gradients([y_1, y_2], x)

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[16.0]

关于聚合求导的说明：
- 当ys是列表的时候，最后求的导数是累加和；累加和的方式有很多种，
  1. ADDN：全部计算好后，在调用ADD_N操作计算
  2. EXPERIMENTAL_ACCUMULATE_N：这个是计算一个累加一个，应该可以减少内存占用
  3. EXPERIMENTAL_TREE：这个方法具体什么算法不知道（估计利用了树这样数据结构来累加），但文档说降低性能，能提高内存的利用率，而且未来可能不再支持。
- 其实作用一样，就是性能与内存的平衡而已。

# 如果ys是列表，则计算导数和， 如果xs是列表，与上面一样，作为求导变量
g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y_1 = x * x
    y_2 = x ** 3
    grad = tf.gradients([y_1, y_2], x, aggregation_method=tf.AggregationMethod.EXPERIMENTAL_ACCUMULATE_N)

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[16.0]

grad_ys用来设置（hold）初始梯度

根据链式求导规则，等价于对梯度加权，该参数与ys长度一样，对饮每个ys。
$y_1 = x ^ 2$
$y_2 = x ^ 3$
$grad_ys = [ 0.3, 0.7 ]$
$\dfrac{\partial (0.3 \ast y_1 + 0.7 \ast y_2)}{\partial x} = \dfrac{\partial 0.3 \ast y_1}{\partial y_1} \dfrac{\partial y_1}{\partial x} + \dfrac{\partial 0.7 \ast y_2}{\partial y_2} \dfrac{\partial y_2}{\partial x} = 0.3 \ast \dfrac{\partial y_1}{\partial x} + 0.7 \ast \dfrac{\partial y_2}{\partial x}$

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y_1 = x * x
    y_2 = x ** 3
    grad = tf.gradients([y_1, y_2], x, grad_ys=[0.3, 0.7])

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)   # 9.6

[9.599999]

高阶梯度计

$y = x ^ 4$

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y = x ** 4
    grad_1 = tf.gradients(y, x)
    grad_2 = tf.gradients(grad_1, x)

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad_2)
print(re)

[48.0]

链式求导与stop_gradients的使用

stop_gradients用来终止链式求导。真心来说tensorflow的求导与PyTorch比起来还是被甩几条街。
$y = x ^ 2$
$z = 5 \sqrt{y}$
$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial x} = (\dfrac{5}{2} y ^{- \frac{1}{2}}) (2 x)$

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y = x * x
    z = 5 * tf.sqrt(y)
    grad = tf.gradients(z, x)

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[5.0]

stop_gradients的使用
- 表示中断链式求导的量
  - 中断会导致z到x的不连接，对这种不连接情况使用unconnected_gradients指定处理方式
    - NONE：默认（NONE继续下去导致异常）
    - ZERO：返回0（ZERO继续下去还是0）

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y = x * x
    z = 5 * tf.sqrt(y)
    grad = tf.gradients(z, x, stop_gradients=[y], unconnected_gradients=tf.UnconnectedGradients.ZERO)   # NONE

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[0.0]

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y = x * x
    z = 5 * tf.sqrt(y)
    grad = tf.gradients(z, y, stop_gradients=[y])  
    # grad = tf.gradients(z, y)  

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[1.25]

stop_gradient函数的使用

g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(2.0)
    y = x * x
    y_ = tf.stop_gradient(y)   # 返回一个不给求导跟踪的Tensor。
    z = 5 * tf.sqrt(y_)
    grad = tf.gradients(z, x, unconnected_gradients=tf.UnconnectedGradients.ZERO)   # NONE
    # grad = tf.gradients(z, y_)   # NONE

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[0.0]

gate_gradients参数的使用

这个参数是控制梯度的并行计算的。与在计算的时候使用一个元组来控制并行运算中，该梯度的计算完成情况。比如链式求导的情况。
- 比如两个matmul操作的梯度依赖输入值，不使用gate_gradients可能会出现有一个梯度在其他梯度之前便应用到某个输入中。
- 在单纯的求导环境中，这个参数没有什么意义。

import tensorflow  as tf
g = tf.Graph()
with g.as_default():
    x = tf.constant(1.0)
    y = x * x
    grad = tf.gradients(y, x, gate_gradients=True)

sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
re = sess.run(grad)
print(re)

[2.0]

使用求导来实现函数的最小值与最大值求解。

这里我们用来求如下函数的极值点。
- $y = 2 (x - 2) ^2 + 3$
算法：
- 使用一个迭代循环
- 每次求函数的导数
- 判定导数的正负
  - 正: x就减
  - 负: x就加
- n辞循环后，我们有理由相信x就是最小值点。
- 把x带入函数，可以求得最小值点

import tensorflow  as tf

vals = []   # 

g = tf.Graph()
sess = tf.compat.v1.Session(graph=g)
with g.as_default():
    x = tf.constant(0.1)
    rate = tf.constant(0.1)
    N = 40
    for i in range(N):
        y = 2 * ((x - 2) ** 2) + 3
        grad = tf.gradients(y, x)
        x -= rate * grad
        v = sess.run(x)
        x = tf.constant(v[0])
        vals.append(v[0])
        
print(F"------ 极值点：{v[0]}")   # 最后一次极值点
print(F"------ 极值：{(lambda x: 2 * ((x - 2) ** 2) + 3)(v[0])}")

# 可视化逼近过程
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(range(N), vals)
plt.show()

------ 极值点：1.9999998807907104
------ 极值：3.0000000000000284

使用导数求极值的过程可视化

Tensorflow2.0使用图模式编程，也是醉了。

Eager模式使用例子

在Eager模式中求导使用是tf.GradientTape

编程模式

tf.GradientTape类是一个需要with上下文支持的类。
1. 构建tf.GradientTape对象
2. 开启tf.GradientTape上下文跟踪
3. 在上下文中定义求导函数与求导变量
4. 调用GradientTape对象对象实现计算

# 1. 构建tf.GradientTape对象
gp = tf.GradientTape()
x = tf.constant(5.0)

# 2. 开启tf.GradientTape上下文跟踪
with gp:
    # 3. 在上下文中定义求导函数 与求导变量
    gp.watch(x)    # 如果没有这个watch，求导就是None
    y = x * x      # 求导函数

# 4. 调用GradientTape对象对象实现计算
grad = gp.gradient(y, x)
print(grad)

tf.Tensor(10.0, shape=(), dtype=float32)

tf.GradientTape的持久性

使用构造器参数persistent=False控制，默认是False
- Fasle：计算一次后，图消失。不能再次调用gradient函数

gp = tf.GradientTape(persistent=True)   # 注意这个参数是True与False差异
x = tf.constant(5.0)
with gp:
    gp.watch(x)   
    y = x * x  

grad = gp.gradient(y, x)
print(grad)
grad = gp.gradient(y, x)
print(grad)

tf.Tensor(10.0, shape=(), dtype=float32)
tf.Tensor(10.0, shape=(), dtype=float32)

对Variable可训练类型的自动跟踪

通过watch_accessed_variables参数控制，默认是True

gp = tf.GradientTape() 
x = tf.Variable(5.0)
with gp:
    y = x * x  

grad = gp.gradient(y, x)
print(grad)

tf.Tensor(10.0, shape=(), dtype=float32)

多元求导

gp = tf.GradientTape(persistent=True)
x = tf.constant(5.0)
y = tf.constant(2.0)

with gp:
    gp.watch(x)  
    gp.watch(y)  
    z = x ** 2 + 2 * y

grad_x_y = gp.gradient(z, [x, y])
grad_x = gp.gradient(z, [x])
grad_y = gp.gradient(z, y)
print(grad_x_y)
print(grad_x)
print(grad_y)     # 注意返回的类型：Tensor与list的差别

[<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=10.0>, <tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=2.0>]
[<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=10.0>]
tf.Tensor(2.0, shape=(), dtype=float32)

聚合求导

就是求导函数是一个list列表类型。

gp = tf.GradientTape()
x = tf.constant(5.0)

with gp:
    gp.watch(x)  
    y_1 = x ** 2 
    y_2 = 2 * x

grad = gp.gradient([y_1, y_2], x)
print(grad)

tf.Tensor(12.0, shape=(), dtype=float32)

对GradientTape上下文停止跟踪

这种实际提供了内存节省，有一定的优化作用。
注意函数返回一个上下文对象：

@contextmanager
stop_recording()

gp = tf.GradientTape()
x = tf.constant(5.0)

with gp:
    gp.watch(x)  
    y_1 = x ** 2 
    with gp.stop_recording():    # 停止跟踪
        y_2 = 2 * x

grad = gp.gradient([y_1, y_2], x)    # y_2 返回 0 ，因为没有提供求导跟踪，聚合的时候作为0使用。
print(grad)

tf.Tensor(10.0, shape=(), dtype=float32)

reset（）提供跟踪重置

reset之前的跟踪被清除。

gp = tf.GradientTape()
x = tf.constant(5.0)

with gp:
    gp.watch(x)  
    y_1 = x ** 2 
    gp.reset()
    gp.watch(x)        # x被清除需要重新watch， y_1被清除
    y_2 = 2 * x

grad = gp.gradient([y_1, y_2], x)    # x被清除，y_1被清除
print(grad)

tf.Tensor(2.0, shape=(), dtype=float32)

向量与矩阵的导数

传说中的雅可比导数与雅可比矩阵。
- 微分变量是向量与矩阵的情况。
batch_jacobian与jacobian
- batch_jacobian计算多维的情况
$y = x ^ 2$
$x = (x_1, x_2)$
$y = x ^ 2 = (x_1, x_2) ^ 2 = (x_1 ^2 , x_2 ^2)$
雅可比矩阵为
- $\begin{bmatrix} { \dfrac{\partial y_1}{ \partial x_1} } & { \dfrac{ \partial y_1}{ \partial x_2 } } \\ { \dfrac{ \partial y_2 }{ \partial x_1 } } & { \dfrac{ \partial y_2 }{ \partial y_2 } } \end{bmatrix}$

gp = tf.GradientTape(persistent=True)
x = tf.constant([5.0, 2.0])

with gp:
    gp.watch(x)  
    y = x ** 2

grad = gp.gradient(y, x)
print(grad)
jaco = gp.jacobian(y, x)
print(jaco)

tf.Tensor([10.  4.], shape=(2,), dtype=float32)
tf.Tensor(
[[10.  0.]
 [ 0.  4.]], shape=(2, 2), dtype=float32)

检测自动跟踪的Variable变量

这个用来调试优化程序不错：调用watched_variables()函数返回自动跟踪的变量。

gp = tf.GradientTape() 
x = tf.Variable(5.0)
with gp:
    y = x * x  

vars = gp.watched_variables()
print(vars)

(<tf.Variable 'Variable:0' shape=() dtype=float32, numpy=5.0>,)

使用GradientTape实现极小值点计算

这个与上面一样的实现模式，只是使用TF2.0的实时模式。

# 小封装一下函数
def cal_grad(dy, dx):
    gp = tf.GradientTape() 
    tx = dx
    with gp:
        ty = dy(tx)
    grad = gp.gradient(ty, tx)
    return grad

vals = []
N  = 50
rate = tf.constant(0.1)
f = lambda p : 2 * ((p - 2) ** 2) + 3
x = tf.Variable(0.1)

for i in  range(N):
    delta = cal_grad(f, x)
    x.assign_sub(rate * delta)
    vals.append(x.numpy())

print(F"------ 极值点：{x.numpy()}")   # 最后一次极值点
print(F"------ 极值：{(lambda x: 2 * ((x - 2) ** 2) + 3)(x.numpy())}")

# 可视化逼近过程
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(range(N), vals)
plt.show()

------ 极值点：1.9999998807907104
------ 极值：3.0000000000000284

使用梯度求极值的过程可视化

关于gradient成员函数的参数

output_gradients参数
- 权重参数(具体看上面图模式编程说明)
unconnected_gradients参数
- 终止求导后的处理方式

gradient(
    target,
    sources,
    output_gradients=None,
    unconnected_gradients=tf.UnconnectedGradients.NONE
)

gp = tf.GradientTape(persistent=True) 
x = tf.Variable(5.0)
with gp:
    y = x * x  
    z = 2 * y + tf.sqrt(y) 
    s = 3 * (x ** 2)

vars = gp.watched_variables()
print(vars)
a = [0.1, 0.9]

z_x = gp.gradient(z, x)
print(F"z_x = {z_x.numpy()}")
s_x = gp.gradient(s, x)
print(F"y_x = {s_x.numpy()}")

print(F"手工权重：z_x + z_y = {  a[0] * z_x.numpy() + a[1] * s_x.numpy()}")
print(F"手工无权重：z_x + z_y = {  z_x.numpy() + s_x.numpy()}")

grad = gp.gradient([z, s], x, output_gradients=a)
print(F"权重：z_x + z_y = {grad.numpy()}")

grad = gp.gradient([z, s], x)
print(F"无权重：z_x + z_y = {grad.numpy()}")

(<tf.Variable 'Variable:0' shape=() dtype=float32, numpy=5.0>,)
z_x = 21.0
y_x = 30.0
手工权重：z_x + z_y = 29.1
手工无权重：z_x + z_y = 51.0
权重：z_x + z_y = 29.09999656677246
无权重：z_x + z_y = 51.0

高阶导数

通过嵌套实现高阶导数计算。

x = tf.Variable(4.0)

with tf.GradientTape() as g_2:         # 二阶导数
    # g_2.watch(x)
    with tf.GradientTape() as g_1:     # 一阶导数
        # g_1.watch(x)
        y = x ** 3
    dy_dx = g_1.gradient(y, x)     # 1阶

d2y_dx2 = g_2.gradient(dy_dx, x)  # 2阶
print(F"一阶导数{dy_dx}")
print(F"二阶导数{d2y_dx2}")

一阶导数48.0
二阶导数24.0

TF2-03求导

API说明

自动求导使用例子

Graph模式使用例子

一阶简单导数

多元求导

聚合求导

grad_ys用来设置（hold）初始梯度

高阶梯度计

链式求导与stop_gradients的使用

gate_gradients参数的使用

使用求导来实现函数的最小值与最大值求解。

Eager模式使用例子

编程模式

tf.GradientTape的持久性

对Variable可训练类型的自动跟踪

多元求导

聚合求导

对GradientTape上下文停止跟踪

reset（）提供跟踪重置

向量与矩阵的导数

检测自动跟踪的Variable变量

使用GradientTape实现极小值点计算

关于gradient成员函数的参数

高阶导数

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