MVP transformation

作者: ospacer | 来源:发表于2020-10-24 11:22 被阅读0次

（本文为三无产品。不含详细推导过程，不含示意图，~~不知所云~~。仅供围观）

$M = M_{vp}*M_{proj}*M_{view}*M_{model}$

model transformation $M_{model}$

模型在世界坐标系下的表示
view/camera transformation $M_{view}$

将相机调整到世界坐标系上，使得模型在相机坐标系下表示
projection transformation $M_{proj}$

设模型位于给定frustum/cube中，将其映射至 $[-1,1]^3$ 的标准立方体中

viewport transformation $M_{vp}$

将标准立方体映射至显示屏幕上

1. Model Transformation (M)

from model to world transform: $M_{model}$

2. View/Camera Transformation (V)

from world coordinate to camera

$\bf{e}$ -- camera/eye position
$\bf{g}$ -- gaze direction (look at)
$\bf{t}$ -- view-up vector

其中 $\bf{t}$ 和 $\bf{g}$ 不一定垂直

世界坐标系： $\{\bf{x},\bf{y},\bf{z}\}$

设camera的base在世界坐标系的表示为： $\{\bf{u},\bf{v},\bf{w}\}$ ，最后归一化
$\begin{align} \bf{w} &= -\bf{g} \\ \bf{u} &= \bf{t} \times \bf{w} \\ \bf{v} &= \bf{w} \times \bf{u} \\ \end{align}$
$R_{world \to cam}$ 表示为：
$R_{world \to cam} = \begin{pmatrix} \bf{u} & \bf{v} & \bf{w} \end{pmatrix}$
$M_{view}$ 表示为：
$\begin{align} M_{view} &= \begin{pmatrix} R_{world \to cam}^{-1} & -\bf{e} \\ \bf{0} & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \bf{u}_x & \bf{u}_y & \bf{u}_z & -\bf{e}_x \\ \bf{v}_x & \bf{v}_y & \bf{v}_z & -\bf{e}_y \\ \bf{w}_x & \bf{w}_y & \bf{w}_z & -\bf{e}_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

3. Projection Transformation (P)

$M_{proj} = \begin{cases} M_{orth} & \text {Sec 3.1} \\ M_{persp} & \text {Sec 3.2} \\ \end{cases}$

3.1 Orthographic Projection Transformation (正交投影变换)

from cube to canonical cube

define cube plane:

$l$ -- left plane
$r$ -- right plane
$b$ -- bottom plane
$t$ -- top plane
$n$ -- near plane
$f$ -- far plane

变换步骤：先平移至原点，再缩放
$M_{orth} = \begin{pmatrix} \cfrac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\cfrac{r+l}{r-l} \\ 0 & \cfrac{2}{t-b} & 0 & -\cfrac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \cfrac{2}{n-f} & -\cfrac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

3.2 Perspective Projection Transformation (透视投影变换)

$M_{persp \to orth}:$ from frustum to cube: 保持近平面不变，远平面形状压缩为近平面（z值不变）

define frustum plane distance:

$n$ -- near plane
$f$ -- far plane

以下公式基于虎书（此处假设 $n,f<0$ ）
$M_{persp \to orth} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

而在一些图形API中，假设 $n,f>0$ ，此时：
$M_{persp \to orth} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

最终透视投影变换可以表示为：
$M_{persp} = M_{orth} * M_{persp \to orth}$

如果给定以下参数，define frustum para:

$fov$ -- field of view (视场角，竖直方向)
$aspect\_ratio$ -- 宽高比

so:

$ratio = \frac{w}{h} \\ h = 2 |n| \tan{\frac{fov}{2}} \\ w = ratio \cdot 2 |n| \tan{\frac{fov}{2}} \\$

考虑frustum参数，并且认为frustum设置于camera朝向轴线上， $M_{orth}$ 可以表示为：
$M_{orth} = \begin{pmatrix} \cfrac{-n/|n|}{ratio \cdot \tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{-n/|n|}{\tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{2}{n-f} & -\cfrac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

so:
$M_{persp} = \begin{pmatrix} \cfrac{-n/|n|}{ratio \cdot \tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{-n/|n|}{\tan{\frac{fov}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{n+f}{n-f} & -\cfrac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & n/|n| & 0 \\ \end{pmatrix}$

4. Viewport Transformation (视口变换)

from canonical cube to screen

define $M_{vp}:can \to scr$

scale: $[-1, 1]^2 \to [0, width]\times[0,height]$ ，z方向不变
$M_{vp} = \begin{pmatrix} \cfrac{w}{2} & 0 & 0 & \cfrac{w}{2} \\ 0 & \cfrac{h}{2} & 0 & \cfrac{h}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Ref

games101
Fundamentals of Computer Graphics, Fourth Edition, 4th Edition
计算机图形学二：视图变换(坐标系转化，正交投影，透视投影，视口变换)

MVP transformation

1. Model Transformation (M)

2. View/Camera Transformation (V)

3. Projection Transformation (P)

3.1 Orthographic Projection Transformation (正交投影变换)

3.2 Perspective Projection Transformation (透视投影变换)

4. Viewport Transformation (视口变换)

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