第二章 微观经济学中的数学工具 课后习题答案

1.已知U(x,y)=4x2+3y2。

(1)计算

(2)当x=1,y=2时,求这两个偏导数的值。

(3)写出U的全微分。

(4)当dU=0,计算dy/dx,即保持U不变,y和x的替代关系如何?

(5)说明当x=1,y=2时,U=16。

(6)当x=1,y=2时,x,y要以怎样的比例小变化才能保持U=16不变?

(7)U=16的等高线是什么图形?它各点的斜率是多少?

解:(1)对于函数U(x,y)=4x2+3y2,其关于x和y的偏导数分别为:

(2)当x=1,y=2时,(1)中的偏导数值分别为

(3)U的全微分为

从而可以解得：

(5)将x=1,y=2代入U的表达式,可得:U=4×1+3×4=16。

(6)由(4)可得,在x=1,y=2处,当保持U=16不变,即dU=0时,有

(7)当U=16时,该函数变为4x2+3y2=16,因而该等高线是一个以原点为中心的椭圆。由(4)可知,该等高线在(x,y)处的斜率为：

2. 假设某企业的总收入只由产量决定,且关系式为R=70q-q2,总成本也只由q决定,Cq2+30q+100。

(1)要使利润(R-C)最大化,产量定为多少?最大利润是多少?

(2)说明(1)问题的答案满足极值的二阶条件。

(3)结果满足“边际收益=边际成本原则”吗?请解释。

解:(1)公司的利润函数为:π=R-C=-2q2+40q-100

利润最大化的一阶条件为

从而可以解得利润最大化时的产量为:q*=10

相应的最大化的利润为:π=-2×102+40×10-100=100

(2)在q*=10处,利润最大化的二阶条件为:

因而满足利润最大化的二阶条件。

(3)在q=10处,边际收益为:

边际成本为：

因而有MR=MC=50,即“边际收益等于边际成本”准则满足。

3.设f(x,y)=xy,在x+y=1的约束条件下分别用代入消元法和拉格朗日乘数法求最大值。

解:(1)代入消元法

由x+y=1可得:y=1-x,将其代入何得:f=xy=x-x2

从而有：

可以解得:x=0.5,y=0.5,f=0.25。

(2)拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数:L=xy+λ(1-x-y)

一阶条件为：

从而可以解得:x=y=0.5,f=xy=0.25。

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