线性代数之——四个基本子空间

1. 四个基本子空间

• 行空间 ，一个 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为
• 列空间 ，一个 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为
• 零空间 ，一个 的子空间，由所有 的解的线性组合构成，维数为
• 左零空间 ，一个 的子空间，由所有 或者 的解的线性组合构成，维数为

2. 的四个基本子空间

假设 的最简行阶梯形式为 ，我们可以很容易地从 找到四个子空间。

矩阵 中有两个主元，因此其秩为 2。

行空间的维数等于秩，为 2，其中一个基可以取 的前两行。

列空间的维数等于秩，为 2，主元所在的列为第一列和第四列，因此其中一个基为 中对应的两列。

零空间的维数等于 ，为 3，有三个自由变量，因此对应着三个特解，它们就是零空间的一个基。

左零空间寻找的是 的行的线性组合来产生一个零向量。

显而易见， 和 必须为 0，而 可以取任意值。左零空间的一个基为 (0, 0, 1)，维数为 。

2. 的四个基本子空间

和 有着相同的行空间、维数 和基。

由矩阵乘法可知， 的每一行都是对 的行的线性组合，而且 的每一行也都是对 的行的线性组合。因此，消元只是改变了行，并没有改变行空间。

当且仅当 ，它们的 个主列都是不相关的，它们的列空间维数都为 。

其中 的列可以看作是对 的列的线性组合，因此 和 有着相同的列空间。

和 有着相同的零空间、维数和基，因为消元并不改变方程组的解。

的左零空间维数为 。

因为 的最后 行为全零行，也就是 中最后 行对 的行的线性组合产生了零向量，因此它们是左零空间的一个基。

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