NP完全问题求知

在一本关于数据结构的书末尾提到了NP完全问题，毫无概念。因此做一番搜索和整理，便于反复阅读和理解。

百度百科的摘录

NP完全问题(NP-C问题)，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。

详细信息

P类问题：所有可以在多项式时间内求解的判定问题构成P类问题。**判定问题****：判断是否有一种能够解决某一类问题的能行算法的研究课题。

NP类问题：所有的非确定性多项式时间可解的判定问题构成NP类问题。非确定性算法：非确定性算法将问题分解成猜测和验证两个阶段。算法的猜测阶段是非确定性的，算法的验证阶段是确定性的，它验证猜测阶段给出解的正确性。设算法A是解一个判定问题Q的非确定性算法，如果A的验证阶段能在多项式时间内完成，则称A是一个多项式时间非确定性算法。有些计算问题是确定性的，例如加减乘除，只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式能推出下一个质数是多少呢？这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式（polynomial）时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。

NPC问题：NP中的某些问题的复杂性与整个类的复杂性相关联.这些问题中任何一个如果存在多项式时间的算法,那么所有NP问题都是多项式时间可解的.这些问题被称为NP-完全问题(NPC问题)。

举例叙述

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。

生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你他可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。 不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

看到概念中有一个 多项式复杂度，会影响对NP问题的理解。在知乎上找到一篇 知乎老抽 Club的解释。

首先知道多项式吗？也就是对于变量n，5n^{2+2n+1这种就叫做多项式。前面再加上n}3甚至一路增加到n^{m，只要m是个常量，就都是多项式。因为这样的式子合并同类项什么的简化到最后还是会有好几个含n的项，所以叫做多项式。然后再说问题大小n。其实字面理解就对了…也就是说，我们要解决一个问题，这个问题里面有n个“东西”要处理，这个问题的大小就是n。比方说，我们要把5、7、9这三个数字排序，问题大小就是3。我们要把全世界人类里面的男的找出来，问题大小就是全世界人口数。然后是多项式倍数。这个倍数是指，对于一个变量n，有这样一个倍数，它的值是n的一个多项式。比方说，我们假设n=5，那么n}2+10=5^{2+10=35，这个35就是n的一个多项式倍数。因为对于n有无限多种多项式组合，所以它也就有无穷多个多项式倍数。多项式倍数之所以特殊，主要是由于其值随n增大而加速增大的特性。如果是常数时间的话，意思就是无论n是什么值运算所花时间都一样。线性时间则是说多大n就花多少时间。多项式时间则意味着随着n增大，n每增加1所花的时间增长越来越多。对于n}2-3这样一个多项式时间来说，n=2的时候可能只要花1的时间，甚至低于线性时间，但n=4的时候可能就要花13的时间了，可以想象再大一些这个数值会变得巨大。但是它又不及指数时间增长快(m^n)，且mn不能写成多项式形式，所以它又和多项式时间有区别。而且，这个增长变速的特性是不受参数限制的。也就是说，无论你把m*n^2的m这个常量改成多么微小的一个值，总有一个n让这个多项式的值大于n，也就是说到这一刻多项式时间的算法耗时高于了线性时间的算法，之后耗时差距一定会越来越大。这一特性是多项式本身的性质决定的。类似，指数级时间也是如此，无论你将n的一个多项式中的所有常量设置到多大，总有一个n的指数值大于多项式值。所以我们说指数时间大于多项式时间，我们说多项式时间大于线性时间，我们还说线性时间大于常数时间，一定要注意这些大于并不是对于所有n的所有情况成立的，只是在说随着n增加前者一定超过后者。希望有帮助。

至此对NP完全问题，能有一知半解。后续在深入学习实践