DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱。
DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT)的出现使得DFT这种分析方法具有实用价值和重要性。

一、时间要离散、有限! 频谱要离散、有限!

DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱。

时域非周期-频域连续
时域周期-频域离散;

时域连续 - 频域非周期
时域离散-频域周期。

dsp001.png DTFT.png DFS.png 四种形式的傅里叶变换.png fourier.png 五种傅里叶变化的特性.png

FT、FS、 DTFT、 DFS、 DFT看着有点晕，有没有迷糊？感觉这之间有联系，但又说不出一二，是不是......

首先我们从傅里叶级数开始说起。通俗理解就是周期函数（三角函数）的叠加。

FS 傅里叶级数

回顾傅里叶级数：

Fourier series:A Fourier series is an expansion of a periodic function as an infinite sum of orthogonal sine and cosine functions, each with an integer number of periods in the period of the function.

fourierseries.png

通过三角函数正交性取出a_n和b_n

三角函数正交性：

三角函数正交性.png

如果两个函数ψ1(r)和ψ2(r)满足条件：∫ψ1(r)ψ2(r)dτ=0,则称这两个函数相互正交.

函数正交性.png fourier series.png 复指数形式的傅里叶级数.png

最美的公式-欧拉公式

什么是负频率？

FS 与 FT傅里叶变换

根号-1等于多少？虚数i是如何表示旋转的?

FS 与 DFS 离散傅里叶级数

三、 DTFT与DFT

奈奎斯特无损采样定理

DFT

DTFT的周期性.png 数字频率ω与模拟频率.png 五种傅里叶变换的时域频域示意图.png

做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。

连续情况

频率：是单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量，常用符号f或ν表示，单位为秒分之一，符号为s^-1。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们把频率的单位命名为赫兹，简称“赫”，符号为Hz。

f = 1/T hz ; 角频率 w=2pi/T rad/s

角频率：在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示。频率的2π倍叫角频率，即 w =2pi*f = 2pi/T

离散情况

例： 采样率=1600 hz ，采样周期 1/1600 s

dft频率.png

如何讲离散信号FFT后求原始信号的周期？
如何获取FFT序列中每个点的频率值？
FFT（快速傅里叶变换）中频率和实际频率的关系

Discrete Fourier Transform.jpg

注： 公式里的是w即连续函数，是k即离散函数

DFT与DTFT及Z变换的关系

DFT与DTFT及Z变换的关系.png

FFT

信号处理