数列通项求解，两次减去常数项不可行的原因

来源：
【数列】浅谈“不动点”求数列通项的方法 - Dylaaan的文章

文中例3 image.png

这个例题，在以前也遇见过类似的，明明可以通过两步减去常数构造出等比数列，可是结果不对，必须通过两次构造然后相除。一直无法理解，因为使用前一种方法，构造过程中只要保证数列项不为1即可，其他限制看起来不存在。可是，这样计算后却发现，第一项为-1，直接不满足前提条件。

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很奇怪，运算处处成立，结果却不正确，这个问题估计很多人都遇见过，向别人请教之后的解答，大多也是结果论，结果不对自然不对，倘若深究，也会发现无从下手。
在此，我试着给出一个推测，数列看似仅包括离散的数，求解时却往往将其视为函数，各种变换也是函数变换，所以，问题可能就出在了函数的身上，对于分式函数而言，他的性质是要差一些的，所谓的有理函数，在复分析中称为半纯函数，他具有奇点，也就是实施函数变换时的障碍，由于这种奇点的存在，一些通常可以进行的函数变换就会出现映射上的问题，比如取倒数，在某些点处就出现了问题，这些点虽然不在数列上，却在数列所依赖的函数上。因此，即使看上去数列上的所有点都符合运算条件，但是数列所依赖的函数存在不符合条件的点，导致函数变换的奇异性，最后导致了有问题的结果。
所以，我觉得数列问题的求解可以视为这样的一个过程，

数列函数函数变换函数数列

其中数列到函数的切换做得非常隐晦，很难察觉，这就导致了关于函数的各种性质被过度简化了。这一道题其实就反映出了这种危害，即使看上去逻辑没有丝毫问题，结果却会出问题。有问题的自然不是逻辑本身，而是书写不够严谨，变换的条件不满足。

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这种问题应该还有很多，虽说对于中学生而言，这些知识可能过于深奥，但是，要培养良好的逻辑思维能力，就需要在各种不寻常处找到正确的逻辑，确信逻辑的可靠性，尤其是数学本身就是逻辑推理构成的，不用考虑各种前提条件的合理性问题，是很好的练习场所。如果只注重结果的话，就会出现各种巧合与意外，设立种种禁忌，却不知问题所在。