几类特殊的行列式

作者: 喜忧参半 | 来源:发表于2021-08-18 23:59 被阅读0次

说实话应该对着几类行列式进行总结，方便回翻。

1、箭形（爪形）行列式

模型一

D_n=\begin{vmatrix} {a_{1}}&{1}&{{1}}&{\cdots}&{{1}}\\ {{1}}&{a_{2}}&{{0}}&{\cdots}&{{0}}\\ {{1}}&{{0}}&{a_{3}}&{\cdots}&{{0}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {{1}}&{{0}}&{{0}}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{vmatrix}(a_2a_3…a_n≠0)

解：
用第一列减去其他每一列的下标倍分之一，以消除第一列的0，很显然得到了一个对角线行列式,那么

D_n=\begin{vmatrix} {(a_1-{1 \over a_2}-{\cdots}-{1 \over a_n})}&{1}&{{1}}&{\cdots}&{{1}}\\ {{0}}&{a_{2}}&{{0}}&{\cdots}&{{0}}\\ {{0}}&{{0}}&{a_{3}}&{\cdots}&{{0}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {{0}}&{{0}}&{{0}}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{vmatrix}

=\quad \prod_{i=2}^n a_i( a_1-\sum_{i=2}^n \frac{1}{a_i})

2、两三角行列式

情形一
$D_n=\begin{vmatrix} {a_{1}}&{b}&{{b}}&{\cdots}&{b}\\ {{b}}&{a_{2}}&{{b}}&{\cdots}&{b}\\ {{b}}&{{b}}&{a_{3}}&{\cdots}&{b}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {{b}}&{{b}}&{{b}}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{vmatrix}(a_2a_3…a_n≠0)$

解：
用每一行都减第一行后，我们会发现一个好玩的式子。
$D_n=\begin{vmatrix} {a_{1}}&{b}&{{b}}&{\cdots}&{b}\\ {{b-a_1}}&{a_{2}-b}&{{0}}&{\cdots}&{0}\\ {{b-a_1}}&{{0}}&{a_{3}-b}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {{b-a_1}}&{0}&{{b}}&{\cdots}&{a_{n}-b}\\ \end{vmatrix}$
很显然除了第一行和第一列还有对角线位置，其余的地方全是0，因此可以直接套用箭型行列式的公式，在这里，我们不做赘述。
$D_n=\begin{vmatrix} {a_1-b(b-a_1)\sum_{i=2}^n \frac{1}{a_i-b}}&{0}&{{0}}&{\cdots}&{0}\\ {{b-a_1}}&{a_{2}-b}&{{0}}&{\cdots}&{0}\\ {{b-a_1}}&{{0}}&{a_{3}-b}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {{b-a_1}}&{0}&{{b}}&{\cdots}&{a_{n}-b}\\ \end{vmatrix}$
$=\prod_{i=1}^n({a_i-b})+b\sum_{i=1}^n\cdots(a_i-b)(a_{i+1}-b)\cdots(a_n-b)$
情形二