我们确定好神经网络的结构（有多少层，每层有多少节点，每个节点的激活函数，权重的初始值）以后，就可以拿真实的数据来训练它。训练神经网络的本质是一个最优化的过程，也就是要找到最优的权重（weights），使得网络的输出和预期的结果最接近（误差最小）。
用简单的语言来描述训练的过程：我们先把训练集中的第一个数据输入神经网络，然后比较网络的输出和预期结果之间的误差（error）。如果有误差，我们就调整网络中的所有权重，然后再输入下一个数据，进行下一轮权重的调整，这个过程不断循环，直到网络输出和预期结果之间的误差下降到可接受的程度。
现在的问题是，如何根据神经网络的误差来调整权重？我们可以使用一种叫做梯度下降（Gradient Descent）的方法。在每轮训练中，我们计算权重在当前值的梯度，梯度的正负可以告诉我们该如何调整权重。如果梯度为负，我们就增加权重的值；如果梯度为正，我们就减少权重的值。如果网络的输出和预期完全一致，权重的梯度就是0，也就是说不需要调整。
那么梯度究竟是什么？我们前面提到的网络输出和预期结果之间的误差可以用损失函数（cost function or loss function or objective function）来表示。损失函数是一个含有多变量的复合函数。某个权重的梯度就是该权重对于损失函数的偏导数（partial derivative）。梯度可以告诉训练算法应该增加还是减少权重的值，而这种调整的结果会减少网络的误差。
我们可以用一幅图来帮助理解：
gradient_single_weight.png
x轴是权重（w），y轴是神经网络的误差（e）。从这幅图上我们可以很轻松的找到e的最小值（曲线的最低点）与之对应的w就是最优的权重。实际上，我们无法得到这样一个曲线（用最暴力的方法穷举所有权重值是不可能完成的任务），我们只知道当前的权重和误差（只见树木不见森林），唯一的办法就是摸着石头过河。我们可以计算误差函数在某个权重值时的斜率（slope），当斜率为负的时候（下坡），增加权重值（向前走）可以降低误差；当斜率为正的时候（上坡），减少权重值（向后走）可以降低误差。就这样怀着坚定的信念（损失函数的值最小），摸着脚下的石头（当前权重的梯度），我们终将走向河的对岸（最优的权重值）。
我们明白了什么是梯度，下一步就可以开始学习如何训练神经网络。反向传播（Backpropagation，BP）算法是训练神经网络最常用的算法。它的核心实际上就是运用链式法则对复合函数求偏导数。知乎上有关于BP算法的讨论，对于初学者很有帮助。我在网上阅读了大量关于BP算法的文章，有的侧重举例，有的侧重公式推导，但我觉得Michael Nielsen的文章写得深入浅出，强烈推荐！我反复阅读了这篇文章，每读一遍都会对BP算法有更清晰的认识。
下面就谈一谈我读Michael Nielsen文章时的一些体会。
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如果不熟悉neuron，layer，weight，bias，activation function，activation output，weighted input，partial derivative的数学表示方法，在阅读公式推导的过程中就会觉得很痛苦。我的解决办法就是对照着神经网络的示意图反复看，把它们像英文单词一样都记住。
比如下面的例子说明了如何明确地表示网络中的一个权重（w）。这里的索引值有2类，上标（l）对应的是layer的索引，下标（j，k）对应的是layer中neuron的索引，j对应的是input neuron（在第l层），k对应的是output neuron（在第l-1层）。
bp_1.png
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用向量（vector）来表示同一个layer中的所有neurons或weights可以使公式得到简化。我们的思维方式从单个neuron或weight的计算（用k索引进行循环），转换成将layer视为一个整体进行向量之间的计算，这样公式中不出现循环，但是它实际上还是有的。
比如我们要表示第l层的第j个neuron的activation output，可以用下面的公式：
bp_2.png
也可以转换成向量之间的计算：
bp_3.png
向量的计算在R和Numpy中都十分常见，对于Rapper来说很容易理解这一点。 -
weighted input（z）在公式的推导中经常出现，它实际上就是一个neuron的激活函数的输入值。文章中的这段话写的十分清楚：
bp_4.png
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理解BP算法的关键是弄明白δ（error）的含义：
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我们一直在说反向传播，到底传播的是什么东西？原来就是这个δ。把error传播回去的最终目的是为了计算权重的梯度。
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学会了四个公式，就等于学会了BP算法。
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（BP1）的目的是计算output layer（第L层）的error，可以看做反向传播的始发站。∇aC 是一个偏导数向量，作者的解释很清楚：
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（BP2）的目的是利用第l+1层的error计算第l层的error，换句话说，就是将error从第l+1层反向传播到第l层
（BP3）很简单，说明bias的偏导数等于它的error
（BP4）计算的是weight的偏导数（梯度），它还有更简洁的表示方式：
bp_8.png
6.文章最后对BP算法做的总结：
bp_9.png
参考文献
- Jeff Heaton. AIFH, Volume 3: Deep Learning and Neural Networks, 2015
- Michael Nielsen. How the backpropagation algorithm works, 2017
http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html
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