什么是“平衡二叉查找树”

平衡二叉树的严格定义：二叉树中任意一个节点的左右子树高度相差不能大于 1。而平衡二叉查找树，就是在平衡二叉树的基础上，满足二叉查找树的特定的树。

但是很多平衡二叉查找树并没有严格符合上面平衡的定义。比如红黑树，它从根节点到各个叶子节点的最长路径，有可能会比最短路径长一倍。

所以，平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。

红黑树的定义

红黑树是一种不严格的平衡二叉查找树。它要满足一下五个要求：

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。
根节点是黑色的。
每个叶子节点都是黑色的空节点，也就是说，叶子节点不存储数据。
任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的。
每个节点，从该节点到其可达的叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

为什么红黑树是“近似平衡”的

追根溯源，我们使用平衡二叉查找树的原因，就是为了解决二叉查找树动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化的太严重。

一颗极其平衡的的二叉树的高度大约是 log2n。故，只要证明红黑树的高度是近似 log2n，即可说明红黑树是“近似平衡”的。

土方法推导过程如下：

首先，将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度比 log2n 还低：

去除红色节点后，有些节点就没有父节点了，它们会直接拿这些节点的祖父节点作为父节点，所以，之前的二叉树就变成四叉树。

从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。&oq=从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。

而上一届我们说过，完全二叉树的高度近似 log2n，所以，红黑树的高度不会超过 2log2n，同样是 log2n 的数量级。