Python数字类型及其操作

数字类型

Python 语言提供了3种数字类型：整数、浮点数和复数。

布尔型 In addition, Booleans are a subtype of integers.

整数类型（int）与数学中整数概念一致，共有4种进制表示：十进制，二进制，八进制和十六进制。默认情况，整数采用十进制，其它进制需要增加相应的引导符号，如表所示。

进制种类	引导符号	描述
十进制	无	默认情况
二进制	0b 或 0B	由字符0和1组成
八进制	0o 或 0O	由字符0到7组成
十六进制	0x 或 0X	由字符0到9、a到f、A到F组成，不区分大小写

整数类型的取值范围在理论上没有限制，实际上受限制于运行Python程序的计算机内存大小。

Integers have unlimited precision.

浮点数类型（float）表示有小数点的数值。浮点数有两种表示方法：小数表示和科学计数法表示。

Python浮点数的取值范围和小数精度受不同计算机系统的限制，sys.float_info详细列出了Python解释器所运行系统的浮点数各项参数，例如：

>>> import sys
>>> sys.float_info
sys.float_info(max=1.7976931348623157e+308, max_exp=1024, max_10_exp=308, min=2.2250738585072014e-308, min_exp=-1021, min_10_exp=-307, dig=15, mant_dig=53, epsilon=2.220446049250313e-16, radix=2, rounds=1)
>>> sys.float_info.max
1.7976931348623157e+308

以下表格来自Python官网的Documentation。

Attribute	Explanation
epsilon	difference between 1 and the least value greater than 1 that is representable as a float
dig	maximum number of decimal digits that can be faithfully represented in a float
mant_dig	float precision: the number of base-radix digits in the significand of a float
max	maximum representable finite float
max_exp	maximum integer e such that radix**(e-1) is a representable finite float
max_10_exp	maximum integer e such that 10**e is in the range of representable finite floats
min	minimum positive normalized float
min_exp	minimum integer e such that radix**(e-1) is a normalized float
min_10_exp	minimum integer e such that 10**e is a normalized float
radix	radix of exponent representation
rounds	integer constant representing the rounding mode used for arithmetic operations.

浮点数类型直接表示或科学计数法中的系数（E或e前面的数）最长可输出16个数字，浮点数运算结果中最长输出17个数字。然而根据sys.float_info.dig的值，计算机只能提供15个数字的准确性。浮点数在超过15位数字计算中产生的误差与计算机内部采用二进制运算有关。

复数类型（complex）表示数学中的复数。复数可以看作二元有序实数对(a, b)，表示a + bj，其中，a是实数部分，b为虚数部分。在Python语言中，复数的虚数部分通过后缀 'J' 或 'j' 来表示。

复数类型中的实数部分和虚数部分的数值都是浮点类型。对于复数z，可以用z.real和z.imag分别获得它的实部和虚部。

顺便提一下布尔型（bool），关键字True和False分别表示真和假，他们的值是1和0，还可和数字相加。

可以用内置函数type()来查询变量所指的对象类型，例如：

>>> 1+True-False
2
>>> a, b, c, d = 20, 5.5, True, 4+3j
>>> print(type(a), type(b), type(c), type(d))
<class 'int'> <class 'float'> <class 'bool'> <class 'complex'>

数字类型的操作

数值运算操作符

Python提供了9个基本的数值运算操作符。这些操作符不需要引用标准或者第三方函数库，也叫内置操作符。

Operation	Result	Notes
x + y	sum of x and y
x - y	difference of x and y
x * y	product of x and y
x / y	quotient of x and y
x // y	floored quotient of x and y	(1)
x % y	remainder of x / y	(2)
-x	x negated
+x	x unchanged
x ** y	x to the power y	(3)

注意：

1. 不对复数运算。整数商，即不大于x与y之商的最大整数。1//2结果为0，-1//2 的结果为-1。
2. 不对复数运算。恒等式 x % y = x - (x // y) * y 。
3. Python 规定 0**0 的值为1，这也是编程语言的通用做法。

三种数字类型之间存在一种扩展关系：int -> float -> complex。不同数字类型之间的运算所生成的结果是更宽的类型。

表中所有的二元数学操作符（+、-、*、/、//、%、**）都有与之对应的增强赋值操作符（+=、-=、*=、/=、//=、%=、**=）。即x op= y 等价于 x = x op y ，op 为二元数学操作符。

数值运算函数

内置的数值运算函数，如下表：

函数	描述	注意
abs(x)	absolute value or magnitude of x	（1）
divmid(x, y)	the pair (x // y, x % y)
pow(x,y [,z])	Return x to the power y; if z is present, return x to the power y, modulo z (computed more efficiently than pow(x, y) % z)
round(x [,ndigits])	x rounded to n digits, rounding half to even. If n is omitted, it defaults to 0	（2）
max(x1,x2...,xn)	smallest item of x1, x2, ... xn	（3）
min(x1,x2,...xn)	largest item of x1, x2, ... xn	（3）

注意：

1. abs(x) 可以计算复数x的模。
2. round(1.5) 的值为2，round(2.5) 的值也是2。
3. max() 和 min() 实际上是 Common Sequence Operations。

数字类型转换函

The constructors int(), float(), and complex() can be used to produce numbers of a specific type.

内置的数字类型转换函数可以将某种类型（数字类型或者字符串）转换为数字类型，如下表：

函数	描述	注意
int(x)	x converted to integer	(1)
float(x)	x converted to floating point	(2)
complex(re, [im])	a complex number with real part re, imaginary part im. im defaults to zero.

注意：

1. 小数部分被直接舍去；see functions math.floor() and math.ceil() for well-defined conversions.
2. float also accepts the strings “nan” and “inf” with an optional prefix “+” or “-” for Not a Number (NaN) and positive or negative infinity.

>>> int(10.9898)
10
>>> int('10.9898') # 解释器抛出 ValueError，并给出基本描述
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: invalid literal for int() with base 10: '10.9898'
>>> int('10')
10
>>> float('10.8989')
10.8989
>>> complex('10.8989')
(10.8989+0j)
>>> float(10+0j) # 解释器抛出 TypeError
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: can't convert complex to float
>>> float('+nan') # 见 注意2
nan
>>> float('-inf') # 见 注意2
-inf

其他函数

• float.as_integer_ratio()

Return a pair of integers whose ratio is exactly equal to the original float and with a positive denominator. Raises OverflowError on infinities and a ValueError on NaNs.

• float.is_integer()

Return True if the float instance is finite with integral value, and False otherwise:

>>> 3.1416926.as_integer_ratio()
(3537231405668161, 1125899906842624)
>>> _[0]/_[1]
3.1416926
>>> 3.000.is_integer()
True

math库 数学函数

math库是Python提供的内置数学类函数库，不支持复数运算。math库中的函数不能直接使用，需要使用import引用该库，引用的方法有两种：

1. import math。以math.函数名()形式调用函数。（建议，不会覆盖内置函数）
2. from math import 函数名1 [,函数名2,...]。直接以函数名()的方式调用。特殊地，from math import *，math库的所有函数都可以直接使用。

实际上，所有的函数库的应用都可以自由选择这两种方式。

除了明确的说明，这些函数的返回值为浮点数。

数论和表示函数

函数	描述	注意
math.ceil(x)	The smallest integer reater than or equal to x	(1)
math.copysign(x, y)	Return a float with the absolute value of x but the sign of y
math.fabs(x)	Return the absolute value of x.
math.factorial(x)	Return x factorial	(3)
math.floor(x)	the largest integer less than or equal to x	(1)
math.fmod(x, y)	返回x与y的模	(4)
math.frexp(x)
math.fsum(iterable)	Return an accurate floating point sum of values in the iterable
math.gcd(a, b)	Return the greatest common divisor of the integers a and b.	(1)(3)
math.isclose(a, b)	Return True if the values a and b are close to each other and False otherwise.	(2)
math.isfinite(x)	Return True if x is neither an infinity nor a NaN, and False otherwise.	(2)
math.isinf(x)	Return True if x is a positive or negative infinity, and False otherwise.	(2)
math.isnan(x)	Return True if x is a NaN (not a number), and False otherwise.	(2)
math.ldexp(x, i)
math.modf(x)	Return the fractional and integer parts of x.
math.remainder(x,y)
math.trunc(x)	Return the Real value x truncated to an Integral	(1)

注意

1. Return an integral value.

2. Retrun True or False.

3. Only accept parameter(s) of integral value.

   • math.factorial(x) raises ValueError if x in not integral or negative.
   • math.gcd(a,b) raises TypeError if either a or b is not integral.

4. Note that the x % y may not return the same result with math.fmod(x,y).

• fmod(x, y) is exactly (mathematically; to infinite precision) equal to x - n*y for some integer n such that the result has the same sign as x and magnitude less than abs(y).
• x % y returns a result with the sign of y instead, and may not be exactly computable for float arguments.

>>> math.fmod(-1234,3) # 结果的符号与x一致
-1.0
>>> -1234%3 # 结果的符号与y一致
2
>>> math.fmod(98765432112345679,2)   # fmod函数会把x转为float，float只有有限位的精度，此时结果出错。
0.0
>>> 98765432112345679%2  # 整数有无限的精度
1
>>> math.factorial(10.00000)   # x可以是具有整数值的浮点数。x.is_integer()返回True。
3628800
>>> math.modf(-123.456)  # 返回的整数部分是以浮点数的形式写的
(-0.45600000000000307, -123.0)
>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1]) 
0.9999999999999999
>>> math.fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1]) #针对浮点数float的sum,所以叫fsum。
1.0

幂函数和对数函数

函数	描述	注意
math.exp(x)
math.expm1(x)		more accurate than math.exp(x) - 1 for x near zero
math.log(x[, base])
math.log1p(x)		more accurate than math.log(1+x) for x near zero
math.log2(x)		more accurate than math.log(x, 2)
math.log10(x)		more accurate than math.log(x, 10)
math.pow(x, y)		1
math.sqrt(x)

注意：

1. Unlike the built-in ** operator, math.pow() converts both its arguments to type float. Use ** or the built-in pow() function for computing exact integer powers.

三角函数

与角度有关的量均为弧度。

函数	描述	返回值	注意
math.acos(x)
math.asin(x)
math.atan(x)
math.atan2(y,x)	or		1
math.cos(x)
math.hypot(x, y)
math.sin(x)
math.tan(x)

注意：

1. Return atan(y / x), in radians. The result is between -pi and pi. The vector in the plane from the origin to point (x, y) makes this angle with the positive X axis. The point of atan2() is that the signs of both inputs are known to it, so it can compute the correct quadrant for the angle.

>>> math.atan(-1)
-0.7853981633974483
>>> math.atan2(-1,1)
-0.7853981633974483
>>> math.atan2(1,-1)
2.356194490192345

角度转换函数

函数	描述
math.degrees(x)	Convert angle x from radians to degrees.
math.radians(x)	Convert angle x from degrees to radians.

双曲函数

函数	描述
math.acosh(x)
math.asinh(x)
math.atanh(x)
math.cosh(x)
math.sinh(x)
math.tanh(x)

特殊函数

函数	描述
math.erf(x)		高斯误差函数
math.erfc(x)		余补高斯误差函数
math.gamma(x)		Gamma函数
math.lgamma(x)		Gamma函数的自然对数

Gamma函数的性质：

1. 
2. 当为整数时，
3. 

>>> math.factorial(10)
3628800
>>> math.gamma(11)
3628800.0

数学常数

常数	数学表示	描述	注意
math.pi		圆周率
math.e		自然常数
math.tau		圆周率的两倍
math.inf		A floating-point positive infinity	1
math.nan		A floating-point “not a number” (NaN) value.	2

注意：

1. Equivalent to the output of float('inf'). For negative infinity, use -math.inf.
2. Equivalent to the output of float('nan').