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第1章 第1节 集合

第1章 第1节 集合

作者: 苏打QAQ | 来源:发表于2019-04-13 00:19 被阅读0次

集合（集）

定义

具有某种特定性质，具体的或抽象的对象（集合的元素）汇集的总体 。
集合通常用大写的S,T,A,B,X,Y,...表示。
元素通常用小写的s,t,a,b,x,y,...表示。
x是集合S的元素：x \in S。
y不是集合S的元素：y \notin S。

常用集合记号

正整数集合：N^+
整数集合：Z
有理数集合：Q
实数集合：R

集合表示方法

（1）枚举法
光是基色的集合：\lbrace红,绿,兰\rbrace；
A是a,b,c,d构成的集合：\lbrace a,b,c,d \rbrace；
N^+=\lbrace 1,2,3,...,n,... \rbrace；
Z=\lbrace 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...,\pm n,... \rbrace；

（2）描述法
S=\lbrace x | x满足性质P\rbrace；
A=\lbrace x | x^2=2 \rbrace；
Q=\lbrace x | x=\frac{q}{p},p \in N^+,q \in Z \rbrace；

集合的性质

（1）集合表示中没有顺序关系，重复也是没有意义的
\lbrace a,b \rbrace = \lbrace b,a \rbrace = \lbrace a,a,b \rbrace。

（2）空集的概念
空集指没有元素的集合；
C=\lbrace x|x\in R\ \& \ x^2+1>0 \rbrace=\varnothing

子集

有S,T两个集合：
若S的所有元素都属于T，则称S是T的子集，记为：S \subset T
若S中至少有一个元素不属于T，则S不是T的子集，记为：S \not\subset T
若S \subset T，在T中存在一个元素S是T的真子集，记为：S \subsetneqq T
若S与T的所有元素完全相同，则称两集合相同，记为：S=T.
S=T \iff S \subset T\ 且\ T \subset S.

例 1.1.1

T=\lbrace a,b,c \rbrace，求它的子集。
解：
对任意集合S，有
S \subset S,\varnothing \subset S
S \subset T,\ x \in S \implies x \in T
所以T的子集有，\lbrace a\rbrace,\lbrace b\rbrace,\lbrace c\rbrace,\lbrace a,b\rbrace,\lbrace a,c\rbrace,\lbrace b,c\rbrace,\lbrace a,b,c\rbrace,\varnothing.

集合的运算

并，交，差，补

并

S与T的并：指S与T的元素的汇集构成的集合，
记为：S \cup T =\lbrace x\ | \ x\in S\ 或\ x\in T \rbrace.

交

S与T的交：指S与T的公共元素所构成的集合，
记为：S \cap T =\lbrace x\ | \ x\in S\ 且\ x\in T \rbrace.

差

S与T的差：指属于S，但不属于T的元素的集合，
记为：S-T = \lbrace x\ | \ x\in S\ 且\ x \notin T \rbrace.

补

设在X集合中讨论问题，S \subset X,
则S关于X的补集记为：S_X^C =\lbrace x\ | \ x\in X\ 且\ x \notin S \rbrace.

集合运算性质

（1）交换律：
S \cup T=T \cup S
S \cap T=T \cap S

（2）结合律
A \cup (B \cup D)=(A \cup B) \cup D
A \cap (B \cap D)=(A \cap B) \cap D

（3）分配律
A \cap (B \cup D)=(A \cap B) \cup (A \cap D)
A \cup (B \cap D)=(A \cup B) \cap (A \cup D)

（4）对偶律
(A \cup B)^C = A^C \cap B^C
(A \cap B)^C = A^C \cup B^C

有限集与无限集

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