第1章第1节集合

作者: 苏打QAQ | 来源:发表于2019-04-13 00:19 被阅读0次

集合（集）

定义

具有某种特定性质，具体的或抽象的对象（集合的元素）汇集的总体。
集合通常用大写的 $S,T,A,B,X,Y,...$ 表示。
元素通常用小写的 $s,t,a,b,x,y,...$ 表示。
$x$ 是集合 $S$ 的元素： $x \in S$ 。
$y$ 不是集合 $S$ 的元素： $y \notin S$ 。

常用集合记号

正整数集合： $N^+$
整数集合： $Z$
有理数集合： $Q$
实数集合： $R$

集合表示方法

（1）枚举法
光是基色的集合： $\lbrace红,绿,兰\rbrace$ ；
$A$ 是 $a,b,c,d$ 构成的集合： $\lbrace a,b,c,d \rbrace$ ；
$N^+=\lbrace 1,2,3,...,n,... \rbrace$ ；
$Z=\lbrace 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...,\pm n,... \rbrace$ ；

（2）描述法
$S=\lbrace x | x满足性质P\rbrace$ ；
$A=\lbrace x | x^2=2 \rbrace$ ；
$Q=\lbrace x | x=\frac{q}{p},p \in N^+,q \in Z \rbrace$ ；

集合的性质

（1）集合表示中没有顺序关系，重复也是没有意义的
$\lbrace a,b \rbrace = \lbrace b,a \rbrace = \lbrace a,a,b \rbrace$ 。

（2）空集的概念
空集指没有元素的集合；
$C=\lbrace x|x\in R\ \& \ x^2+1>0 \rbrace=\varnothing$

子集

有 $S,T$ 两个集合：
若 $S$ 的所有元素都属于 $T$ ，则称 $S$ 是 $T$ 的子集，记为： $S \subset T$
若 $S$ 中至少有一个元素不属于 $T$ ，则 $S$ 不是 $T$ 的子集，记为： $S \not\subset T$
若 $S \subset T$ ，在 $T$ 中存在一个元素 $S$ 是 $T$ 的真子集，记为： $S \subsetneqq T$
若 $S$ 与 $T$ 的所有元素完全相同，则称两集合相同，记为： $S=T.$
$S=T \iff S \subset T\ 且\ T \subset S.$

例 1.1.1

$T=\lbrace a,b,c \rbrace$ ，求它的子集。
解：
对任意集合 $S$ ，有
$S \subset S,\varnothing \subset S$
$S \subset T,\ x \in S \implies x \in T$
所以 $T$ 的子集有， $\lbrace a\rbrace,\lbrace b\rbrace,\lbrace c\rbrace,\lbrace a,b\rbrace,\lbrace a,c\rbrace,\lbrace b,c\rbrace,\lbrace a,b,c\rbrace,\varnothing.$