线性代数启示录(一)

线性代数启示录(一)

作者: 东方胖 | 来源:发表于2022-07-26 18:41 被阅读0次

线性代数的内容包含向量空间，子空间，内积空间，线性变换，矩阵理论，特征值和特征向量，二次型等等，矩阵论因其广泛应用在工程中，又独立出一个小分支。

代数应当是起源于解方程，最简易的单变量方程，一元一次方程
$ax=b$
稍加讨论，这个方程对于现代人已经没什么太多的内容，我们只需要考虑一下系数 a是不是 0，就可以回答单变量方程关于解的情况

一元二次方程
$ax^2 + bx + c = 0$
的求解衍生出韦达定理这些理论，关于它和抛出线的几何关系，在高中和初中的课本上是个核心内容，至于一元高次方程暂不论

线性代数关系紧密的是多元一次方程。多代表至少是两个未知量
一个二元一次方程组

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 （1）\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 （2）$

一般化的一次方程组
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ ... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... +a_{mn}x_n = b_m$

从二元一次方程出发，我们尝试解这种方程，会引出消元法，将（2）乘一个系数加到（1），意图将变元 $x_1$ 消失

使用消元法的时候我们会发现几种情况

方程之间不相容，即出现互相矛盾的方程
方程只有平凡解
方程有非平凡解，但是解集可能是1个，或多个解

例如，消元法得到如下的方程组

$ax_1 + b_1x_2 + c_1x_3 = M_1 \\ 0x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 = M_2 \\ 0x_1 + 0x_2 + c_3x_3 = M_3$

$c_3 = 0 , M_3 = 0$ 时，最后一个方程组可以删去——但 $x_3$ 的取值可以是任何数，
构造方程的解
$(x_1, x_2, \xi)^{T}$ 先将 $\xi$ 看成一个常量，代入方程组中，可以解出 $x_1, x_2$ 用 $\xi$ 表示的解, 联合 $x_3$ 就有
比如是

$x_1 = 4\xi + 3\\ x_2 = 2\xi + 1 \\ x_3 = \xi$

那方程组的解就可以写成

$x = \left ( \begin{array}{1} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \xi + \left ( \begin{array}{1} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$
这个叫方程组 $Ax = b$ 的基础解系

通过消元法我们得到这些答案，同时引申的新问题是

矩阵 $A$ 具有什么性质的时候，方程组有解，什么时候方程组无解
消元法的本质是什么？
两个方程组的解一样，增广矩阵 $(A \ b)$ 会有什么性质？

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