编辑距离--最长公共子串长度

最长公共子串作为编辑距离中的一种，只允许增加、删除字符两种编辑操作。
最长公共子串的大小，表示两个字符串相似程度的大小。

从 a[0] 和 b[0] 开始，依次考察两个字符串中的字符是否匹配。
如果 a[i] 与 b[j] 互相匹配，我们将最大公共子串长度加一，并且继续考察 a[i+1] 和 b[j+1]。
如果 a[i] 与 b[j] 不匹配，最长公共子串长度不变，这个时候，有两个不同的决策路线：
删除 a[i]，或者在 b[j] 前面加上一个字符 a[i]，然后继续考察 a[i+1] 和 b[j]；
删除 b[j]，或者在 a[i] 前面加上一个字符 b[j]，然后继续考察 a[i] 和 b[j+1]。
反过来也就是说，如果我们要求 a[0…i] 和 b[0…j] 的最长公共长度 max_lcs(i, j)，我们只有可能通过下面三个状态转移过来：
(i-1, j-1, max_lcs)，其中 max_lcs 表示 a[0…i-1] 和 b[0…j-1] 的最长公共子串长度；
(i-1, j, max_lcs)，其中 max_lcs 表示 a[0…i-1] 和 b[0…j] 的最长公共子串长度；
(i, j-1, max_lcs)，其中 max_lcs 表示 a[0…i] 和 b[0…j-1] 的最长公共子串长度。

public int lcs(char[] a, int n, char[] b, int m) {
  int[][] maxlcs = new int[n][m];
  for (int j = 0; j < m; ++j) {//初始化第0行：a[0..0]与b[0..j]的maxlcs
    if (a[0] == b[j]) maxlcs[0][j] = 1;
    else if (j != 0) maxlcs[0][j] = maxlcs[0][j-1];
    else maxlcs[0][j] = 0;
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) {//初始化第0列：a[0..i]与b[0..0]的maxlcs
    if (a[i] == b[0]) maxlcs[i][0] = 1;
    else if (i != 0) maxlcs[i][0] = maxlcs[i-1][0];
    else maxlcs[i][0] = 0;
  }
  for (int i = 1; i < n; ++i) { // 填表
    for (int j = 1; j < m; ++j) {
      if (a[i] == b[j]) maxlcs[i][j] = max(
          maxlcs[i-1][j], maxlcs[i][j-1], maxlcs[i-1][j-1]+1);
      else maxlcs[i][j] = max(
          maxlcs[i-1][j], maxlcs[i][j-1], maxlcs[i-1][j-1]);
    }
  }
  return maxlcs[n-1][m-1];
}

private int max(int x, int y, int z) {
  int maxv = Integer.MIN_VALUE;
  if (x > maxv) maxv = x;
  if (y > maxv) maxv = y;
  if (z > maxv) maxv = z;
  return maxv;
}