背景
调和函数 （harmonic functions） 是拉普拉斯方程的解。球谐函数（spherical harmonic， SH）是限制在球上的解，已被广泛用于用于解决各个领域中的问题。
球谐函数是单位圆上傅里叶基的球面模拟，由于球谐函数形成了一组完整的正交函数，形成了正交基，因此定义在球面上的每个函数都可以写成这些球谐函数的总和。与信号处理中使用的傅立叶基一样，在截断序列时必须小心，以尽量减少可能发生的“振铃”伪影。
定义
球谐函数是球面S上的正交基， 基函数的定义为
其中
常在图形学中用到的实值基的为：
表示“波段（band）”，每个波段等价于该度数的多项式，包括
个函数。
first 3 bands of SH function image (red for positive, blue for negative.)
中央一列的函数（）被称为带状谐波（zonal harmonics, ZH），这些函数围绕z轴旋转对称，零点（函数为零的位置）是球体上平行于XY平面的轮廓线。
的函数被称为扇形谐波（sectorial harmonics ），零点定义了像苹果片一样的区域。
前几阶的多项式
投影和重构
因为 SH 基是正交的，所以定义在 S 上的标量函数 的最小二乘投影是通过简单地将要投影的函数
与基函数相积分来完成的。
这些系数可以用来重构函数f的近似值
通常情况下，对投影系数和基函数使用一个单一的索引是很方便的，通过
第一个系数（或
）代表函数在球面上的平均值，有时将被称为DC项。
重构时阶数越高精度越高。
基本性质
旋转不变性，与傅里叶变换中的平移不变性类似，给定一个函数，它代表函数f(s)由一个旋转矩阵Q旋转，所以
，g的投影与旋转f的投影再重新投影是相同的。
由于SH基的正交性，给定任何两个SH函数a和b，积的积分是系数向量的点积。
卷积
给定一个具有圆对称性的核函数 ，可以生成一个新的 SH 函数，它是核与原始函数 f 的卷积结果。
必须具有圆对称性，卷积的结果也可以在球体 S 上表示，而不是在旋转组 SO(3) 上表示。可以使用以下等式直接在频域中进行卷积：
这相当于简单地将 的每个带按
中相应的 m=0 项缩放。
参考：
https://www.jianshu.com/p/a379b4c6d346
https://justinwillmert.com/articles/2020/notes-on-calculating-the-spherical-harmonics/
网友评论