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2019-05-05 sqrt(a+sqrt(b))公式 (有条

2019-05-05 sqrt(a+sqrt(b))公式 (有条

作者: simon_economic | 来源:发表于2019-05-05 22:22 被阅读0次

完整推导

设,x+y=a  且x≥y≥0

2\sqrt{xy} =\sqrt{b},所以 xy=\frac{b}{4}

x+y+2\sqrt{xy} =(\sqrt{x} +\sqrt{y}) ^2

自然的,\sqrt{a+\sqrt{b} }=(\sqrt{x} +\sqrt{y})

x+y=a2\sqrt{xy} =\sqrt{b}结合在一起,x^2-ax+\frac{b}{4} =0

如果x有解,要求a^2-b\geq 0

x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2}    因为x≥y≥0,所以x=\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}  ,y=\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2}

所以\sqrt{a+\sqrt{b} }= \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}  } +\sqrt{\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2}  }

进一步可得\sqrt{a\pm \sqrt{b} }= \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}  } \pm \sqrt{\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2}  }

证明略

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