线性代数笔记18

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-02-21 13:09 被阅读0次

行列式与特征值

行列式 $det A = |A|$

行列式为零矩阵是奇异的
行列式不为零矩阵是可逆的
但是行列式的意义不止这点

$det I =1$
交换行会改变行列式的符号
置换矩阵（行置换矩阵）的P， $det P =1 \quad or \quad -1$
$\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$
$\begin{vmatrix} ta & tb\\ c & d \end{vmatrix}=t\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix} a+a' & b+b'\\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a' & b'\\ c & d \end{vmatrix}$

每一行的线性性，而不是整个矩阵的线性。

两行相等则行列式为0 由性质2可得

5.从k行减去i行的l倍，不改变行列式的值（性质3，4可得）

6.若一行为0，则行列式为0（性质3可得，令t等于任意非零常数）

7.上三角矩阵（由5，可以得到上三角矩阵） $det U =\begin{vmatrix}d_1& \star & \star&\star\\0&d_2& \star & \star\\0&0&\ddots &\star\\0&0&0&d_n \end{vmatrix}=(d_1)(d_2) \cdots (d_n)$ (由4，5可得，变成上三角，再变成对角，再提出d（类似t）)

8. $det A =0$ 当A是奇异矩阵(由7可得)
任何以上或以下性质都离不开消元
9. $detAB=(detA)(detB)$ 可以推出 $detA^{-1}=\frac{1}{detA}$ , $detA^{2}=(detA)^2$ , $det2A=2^ndetA$
10. $detA^T=detA$ 对角化，然后转置对对角元素不影响。

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