在OpenGL中用Projection Matrix 分别左乘和右乘Scale Matrix或Uniformity Diagonal Matrix 的效果

环境描述

本文所述Projection Matrix均对应右手性（right handedness）的帧（frame）变换，也即near/far值都为负值，Projection Matrix变换所产生的z-buffer值越大距离眼睛帧数坐标原点（camera）越近。 在OpenGL环境中对应非默认的深度检测函数设置glDepthFunc(GL_GREATER)。

基准Projection Matrix变换过程及成像参数描述

我们将最初的Projection Matrix对应的MVP变换称为基准变换。Vertex Shader在执行MVP变换时，实际应用于顶点（Vertices）的顺序分别是Model Matrix，View Matrix，Projection Matrix。其中Model Matrix将对象坐标变换为world coordinate，View Matrix将world coordinate变换为眼睛坐标（eye coordinate），Projection Matrix将眼睛坐标变换为裁切clip coordinate。也就是说MVP按照字面顺序被先后应用于vertex变换。为了后面描述的方便，这里我们将基准MVP变换的眼睛坐标记为[Xe,Ye,Ze,1]ᵗ,clip coordinate记为[Xc,Yc,Zc,Wc]ᵗ. 在经过clipping和perspective division之后，clip coordinate变换为normalized device coordinate[Xn,Yn,Zn]ᵗ。最后normalized device coordinate被用于成像。

注： [X,Y,Z,W]ᵗ标记表示集合为垂直集合。

我们从四种情形分别进行讨论，首先给定：

P为标准的View Frustum Projection Matrix

S为Scale Affine Matrix(对角线vector为[3,3,3,1])

O为Uniformity Diagonal Matrix（对角线vector为[3,3,3,3]）。

情形一：将P替换为PS，即Projection Matrix 右乘（right multiplies）Scale Affine Matrix

对最终成像的影响：成像中可能会少一些对象，也可能会多一些对象，但是和基准变换相比保留的对象的成像没有变化

这种情况我们按照Vertex Shader变换顶点时的应用顺序，在Projection Matrix变换前，对眼睛坐标沿着每个axis进行了3倍放大，这样就获得了眼睛坐标[3Xe,3Ye,3Ze,1]ᵗ。之后眼睛坐标被Projection Matrix变换为clip coordinate[3Xc,3Yc,Zc‘,3Wc]ᵗ，考虑由于所有新的Xc，Yc，Zc坐标的裁切范围都被放大了3倍，但是其中Zc‘并没有同比放大3倍，可据Projection Matrix计算推算存在可能使得原来vertex的Zc‘<=-3Wc，可能与基准变换原来的顶点相比有一部分深度（Ze值）小的顶点（远离相机）会被裁切，而原来vertex的Zc'也不如原来那样接近3Wc，可能会导致基准变换被裁切的near值前的一部分点现在不被裁切。对于view frustum中留下的vertex，在执行perspective division之后所获得的normalized device coordinate为[Xn,Yn,Zn‘]ᵗ，（Xn，Yn)的值没变化，从而我们看到最终成像和基准成像没变化（除了可能会少一些原来的对象，也可能会多出一些新对象外）。

情形二：将P替换为PQ，即Projection Matrix 右乘（right multiplies）Uniformity Diagonal Matrix

对最终成像的影响：成像相比基准成像没有任何变化

相比于情形一，scale matrix首先将眼睛坐标的每个部件都放大3倍，包括第4部件-[3Xe,3Ye,3Ze,3]ᵗ。这样经过projection matrix变换后，我们就获得新的clip coordinate [3Xc,3Yc,3Zc,3Wc]。从新的clip coordinate我们可以看出虽然x，y，z轴坐标都同比放大3倍，但是w变量也被放大三倍，这样裁切后相比基准变化的顶点完全一样。再经过perspective division后，我们获得和基准变换完全相同的[Xn,Yn,Zn]ᵗ。也就是说成像不会有任何变化。

情形三：将P替换为SP，即Projection Matrix 左乘（left multiplies）Scale Affine Matrix

对最终成像的影响：成像中对象的数目会经历（可能剧烈）减少，同时view frustum之外的新顶点不可能再进入view frustum之内。相比基准留下的对象成像各坐标放大3倍，同样顶点的对象成像比基准放大9倍

这种情形我们直接从裁切坐标开始考虑，我们可以理解为基准MVP变换后生成裁切坐标[Xc,Yc,Zc,Wc]ᵗ，然后Scale Matrix将前3个部件放大3倍成为新的clip coordinate-[3Xc,3Yc,3Zc,Wc]ᵗ。所有的部件都放大3倍，除了W变量（Wc）保留不变。这会导致在clipping phase，原来的顶点在x，y，z维度上被裁切掉的概率大大增加。因为生成的View Frustum同比放大3倍，而裁切范围没变，所以不可能有新的点再进入frustum。在经历perspective division之后，相比原来的顶点，获得的新normalized device coordinate变为[3Xn,3Yn,3Zn]ᵗ。也就是说最终的成像会放大9倍。

情形四：将P替换为QP，即Projection Matrix 左乘（left multiplies）Uniformity Diagonal Matrix

对最终成像的影响：成像相比基准成像没有任何变化

从裁切过程开始同于情形二。