线性时不变系统的卷积

作者: seniusen | 来源:发表于2018-10-30 19:44 被阅读127次

任何离散时间信号都可以看成是由离散时间单位脉冲组成的。

$\tag{1} x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$
这个式子相当于把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 $\delta[n-k]$ 的线性组合，而这个线性组合中的系数就是 $x[k]$ 。

由线性系统的可加性，我们可以得到，一个线性时不变系统对 $x[k]$ 的响应就是系统对这些移位单位脉冲的响应的加权叠加。

另一方面，由于是时不变系统，系统对移位脉冲的响应也就是对未移位脉冲响应的移位。

若令 $h_k[n]$ 表示该线性系统对移位单位脉冲 $\delta[n-k]$ 的响应，那么该线性系统对输入 $x[n]$ 的响应 $y[n]$ 就是这些基本响应的加权线性组合。
$\tag{2} y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]$

如果该系统也是时不变的，那么这些对移位单位脉冲的响应也都是互相之间作了移位。具体来说，因为 $\delta[n-k]$ 是 $\delta[n]$ 的时间移位，响应 $h_k[n]$ 也就是 $h_0[n]$ 的一个时移，即

$\tag{3} h_k[n] = h_0[n-k]$

为了简化符号，我们将 $h_0[n]$ 的下标去掉，定义单位脉冲序列响应为：

$\tag{4} h[n] = h_0[n]$

这样 (2) 式就变成
$\tag{5} y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$

这个结果被称为卷积和，并且 (5) 式右边的运算称为 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的卷积，并用符号记作
$\tag{6} y[n] = x[n] * h[n]$

例 1
例 2
如果我们要对某个特定的 $n$ 求 $y[n]$ ，我们还可以将信号 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 都看成是 $k$ 的函数，将它们相乘就得到序列 $g[k] = x[k]h[n-k]$ ，它可看成在每一个时刻 $k$ ，输入 $x[k]$ 对输出在时刻 $n$ 做出的贡献，然后将 $g[k]$ 序列中的样本值相加就是在所选时刻 $n$ 的输出值。