欧拉函数 φ （fai， 打出 phi -> φ）

互质: 如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因数， 我们就称这两个数是互质关系（coprime）。

计算56的欧拉函数

 φ(56) =  φ(8)*  φ(7) = 4 * 6 = 24

欧拉函数特点:

一、当n是质数的时候，φ(n)=n-1。

二、如果n可以分解成两个互质的整数之积，如n=A*B则：

φ(A*B)=φ(A)* φ(B)

根据以上两点得到：

如果N是两个质数P1 和 P2的乘积则

φ(N)=φ(P1)* φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)

欧拉定理

如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

费马小定理

 欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

公式转换

例子：

m = 3, n = 5        φ(n) =  φ(5) = 4

3 φ(5) mod 5  --->  3 **4 mod 5 = 81 mod 5 = 1

3 φ(5) mod 5  --->  3 **(4 * 2) mod 5 = 6561 mod 5 = 1

3 φ(5) mod 5  --->  3 **(4  + 1) mod 5 = 243 mod 5 = 3

模反元素

如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得 ed-1

被x整除。  那么d就是e对于x的“模反元素”

例子：

e = 3 , x = 5

e*d mod x  = 1  -->  3*d mod 5 = 1 , d 可以为 2、7 ， 2、7 就是3相对于5的模反元素

e*d = k *x + 1   -->  3*7 = k*5 + 1, k 可以为 4

m = 4, n = 15 , φ(n) = φ(3) * φ(5) = 8,  e = 3,  d 可以为 11 、19 （d 是求出来的， e*d mod φ(n) = 1 --> 3*d mod 8 = 1 ,  --->  3*d - 1 = 8*k ---> d = 3, 11, 19）  e和φ(n)互质

4**33 mod 15 = 4   ,   5**33 mod 15 = 5  ,   6**33 mod 15 = 6

结论 m<n 都满足条件， m **(e*d) mod n = m

迪菲赫尔曼密钥交换

原理

3 ** 15 mod 17 = 6   ,  6 **13 mod 17  = 10  ----> (3 ** 15) ** 13 mod 17 = 10

3 ** 13 mod 17 = 12  ,  12 **15 mod 17  = 10  ----> (3 ** 13) ** 15 mod 17 = 10

所以 ：  (3 ** 15)** 13 mod 17 = (3 ** 13) ** 15 mod 17  --->

m **e mod n = c ,  c ** d mod n = m **(e *d) mod n，  m ** (e *d) mod n = m  ( d和φ(n)的模反元素 )

m **e mod n = c 加密

c **d mod n = m 解密

RSA算法

例子：

m = 3 , n = 15, φ(n) = 8, e = 3 (与φ(n) 互质)，d = 11、19

3 ** 3 mod 15 = 12  , 12 ** 11 mod 15 = 3

12 * 3 mod 15 = 3 ,  3 ** 11 mod 15 = 12

m 小于 n, d 是 e 相对于φ(n)的模反元素

公钥： n 和 e

私钥： n 和 d

明文:   m

密文:   c

n 长度 1024 以上，所以 n 是由 p1 和 p2 两个质数相乘得到的，为了好算。

说明：

1、n会非常大，长度一般为1024个二进制位。（目前人类已经分解的最大整数，232个十进制位，768个二进制位）

2、由于需要求出φ(n)，所以根据欧函数特点，最简单的方式n

由两个质数相乘得到: 质数：p1、p2  ,  Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)

3、最终由φ(n)得到e 和 d 。

总共生成6个数字：p1、p2、n、φ(n)、e、d

关于RSA的安全：

除了公钥用到了n和e 其余的4个数字是不公开的。

目前破解RSA得到d的方式如下：

1、要想求出私钥d  。由于e*d = φ(n)*k + 1。要知道e和φ(n);

2、e是知道的，但是要得到 φ(n)，必须知道p1 和 p2。

3、由于 n=p1*p2。只有将n因数分解才能算出。

RSA特点总结：（加密核心数据，配合其他加密算法使用）

1. 相对来说比较安全（非对称加密的，私钥不用传递）

2. 效率不高

3. 加密数据小

终端演示：

由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA.

OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个：

$ openssl genrsa -out private.pem 1024

$ cat private.pem  （查看显示出来的是 base64的编码）

$ openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem

$ openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt

$ openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt  加密

$ openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt   解密

$ openssl req -new -key private.pem -out rsacert.csr   生成csr文件

$ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey private.pem -out rsacert.crt   签名

$ openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey private.pem -in rsacert.crt 生成p12

base64

  base64 可以将任意的二进制数据进行编码。 编码成为65个字符组成的文本文件。

  0~9a ~ z， A ~ Z + / =

 $base64 源文件 -o 目标文件    编码

 $base64 源文件 -o 目标文件 -D 解码

  101001 010101 010100 010101

  A 字节  =  =

  010000 010000 000000 000000  (将二进制数据以每6个二进制为一组进行编码， 6位正好是64个二进制)

例如 ： A 的ASCII 码为65， 占1个字节，8个二进制位 01000001 ，---> 010000 010000 000000 000000 （补两组0是为了字节对齐）

RSADemo

$ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der  （在ios中不能直接使用，需将crt 文件生成一个der文件）

将der 和 p12文件拖入项目中，导入 RSACryptor

- (void)viewDidLoad {

    [super viewDidLoad];

    //1.加载公钥

    [[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPublicKey: [[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"rsacert.der" ofType:nil]];

    //2.加载私钥

    [[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPrivateKey:[[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"p.p12" ofType:nil] password:@"123456"];

}

- (void)touchesBegan:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent*)event{

    //1.加密

    NSData * result = [[RSACryptor sharedRSACryptor] encryptData:[@"hello" dataUsingEncoding:NSUTF8StringEncoding]];

    NSLog(@"加密的结果是:%@",[result base64EncodedStringWithOptions:0]);

    //2.解密

    NSData * jiemi = [[RSACryptor sharedRSACryptor] decryptData:result];

    NSLog(@"解密的结果：%@",[[NSString alloc] initWithData:jiemi encoding:NSUTF8StringEncoding]);

}

加密结果不一样

// 填充模式  kSecPaddingNone 每次解密结果是固定的

// kSecPaddingPKCS1 是随机变化的。

#define kTypeOfWrapPadding        kSecPaddingNone